试题

（2009·黑河）直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程x²-14x+48=0的两根（OA＞OB），动点P从O点出发，沿路线O·B·A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（3）当S=12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x²-14x+48=0得：x₁=8，x₂=6，
∴A（8，0），B（0，6）；

（2）∵OA=8，OB=6，
∴AB=10，
当点P在OB上运动时，OP₁=t，
S=

1

2

OA×OP1=

1

2

×8×t=4t；
当点P在BA上运动时，作P₂D⊥OA于点D，
有

P2D

BO

=

AP2

AB

，
∵AP₂=6+10-t=16-t，
∴P2D=

48-3t

5

，
∴S=

1

2

×OA×P2D=

1

2

×8×

48-3t

5

=-

12

5

t+

192

5

；

（3）当4t=12时，t=3，P₁（0，3），
此时，过△AOP各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M不存在；
当-

12

5

t+

192

5

=12时，t=11，P₂（4，3），
此时，M₁（0，3）、M₂（0，-6）．
解：（1）解方程x²-14x+48=0得：x₁=8，x₂=6，
∴A（8，0），B（0，6）；

（2）∵OA=8，OB=6，
∴AB=10，
当点P在OB上运动时，OP₁=t，
S=

1

2

OA×OP1=

1

2

×8×t=4t；
当点P在BA上运动时，作P₂D⊥OA于点D，
有

P2D

BO

=

AP2

AB

，
∵AP₂=6+10-t=16-t，
∴P2D=

48-3t

5

，
∴S=

1

2

×OA×P2D=

1

2

×8×

48-3t

5

=-

12

5

t+

192

5

；

（3）当4t=12时，t=3，P₁（0，3），
此时，过△AOP各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M不存在；
当-

12

5

t+

192

5

=12时，t=11，P₂（4，3），
此时，M₁（0，3）、M₂（0，-6）．