试题

直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A （6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1；
（1）求直线BC的解析式；
（2）直线EF：y=kx-k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S_△EBD=S_△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．

解：（1）由已知：0=-6-b，
∴b=-6，
∴AB：y=-x+6．
∴B（0，6）
∴OB=6
∵OB：OC=3：1，
OC=

OB

3

=2，
∴C（-2，0）
设BC的解析式是Y=ax+c，代入得；

6=0·a+c 0=-2a+c

，
解得：

a=3 c=6

，
∴BC：y=3x+6．
直线BC的解析式是：y=3x+6；

（2）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°．
∵S_△EBD=S_△FBD，
∴DE=DF．
又∵∠NDF=∠EDM，
∴△NFD≌△EDM，
∴FN=ME．
联立

y=kx-k y=-x+6

得yE=

5k

k+1

，
联立

y=kx-k y=3x+6

得yF=

9k

k-3

．
∵FN=-y_F，ME=y_E，
∴

5k

k+1

=

-9k

k-3

．
∵k≠0，
∴5（k-3）=-9（k+1），
∴k=

3

7

；

（3）不变化K（0，-6）．
过Q作QH⊥x轴于H，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，PB=PQ，
∵∠BOA=∠QHA=90°，
∴∠BPO=∠PQH，
∴△BOP≌△HPQ，
∴PH=BO，OP=QH，
∴PH+PO=BO+QH，
即OA+AH=BO+QH，
又OA=OB，
∴AH=QH，
∴△AHQ是等腰直角三角形，
∴∠QAH=45°，
∴∠OAK=45°，
∴△AOK为等腰直角三角形，
∴OK=OA=6，
∴K（0，-6）．
解：（1）由已知：0=-6-b，
∴b=-6，
∴AB：y=-x+6．
∴B（0，6）
∴OB=6
∵OB：OC=3：1，
OC=

OB

3

=2，
∴C（-2，0）
设BC的解析式是Y=ax+c，代入得；

6=0·a+c 0=-2a+c

，
解得：

a=3 c=6

，
∴BC：y=3x+6．
直线BC的解析式是：y=3x+6；

（2）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°．
∵S_△EBD=S_△FBD，
∴DE=DF．
又∵∠NDF=∠EDM，
∴△NFD≌△EDM，
∴FN=ME．
联立

y=kx-k y=-x+6

得yE=

5k

k+1

，
联立

y=kx-k y=3x+6

得yF=

9k

k-3

．
∵FN=-y_F，ME=y_E，
∴

5k

k+1

=

-9k

k-3

．
∵k≠0，
∴5（k-3）=-9（k+1），
∴k=

3

7

；

（3）不变化K（0，-6）．
过Q作QH⊥x轴于H，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，PB=PQ，
∵∠BOA=∠QHA=90°，
∴∠BPO=∠PQH，
∴△BOP≌△HPQ，
∴PH=BO，OP=QH，
∴PH+PO=BO+QH，
即OA+AH=BO+QH，
又OA=OB，
∴AH=QH，
∴△AHQ是等腰直角三角形，
∴∠QAH=45°，
∴∠OAK=45°，
∴△AOK为等腰直角三角形，
∴OK=OA=6，
∴K（0，-6）．