试题

（2006·徐州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求△OAC的面积；
（3）若P为线段OA（不含O、A两点）上的一个动点，过点P作PD∥AB交直线OC于点D，连接PC．设OP=t，△PDC的面积为S，求S与t之间的函数关系式；S是否存在最大值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．

解：（1）∵直线y=-2x+12与直线y=x交于点C，
∴x=-2x+12，
解得x=4，（1分）

所以y=4，所以C点的坐标为（4，4）．（2分）

（2）由-2x+12=0得x=6，（3分）
所以S_△OAC=

1

2

×6×4=12．（4分）

（3）如图，分别过点C、D作OA的垂线，垂足分别为M、N点，
因为PD∥AC，所以

DN

CM

=

OP

OA

，（5分）
即

DN

4

=

t

6

，所以DN=

2

3

t．（6分）
所以S=S_△OAC-S_△OPD-S_△PAC（7分）
=12-

1

2

OP·DN-

1

2

PA·CM=12-

1

2

t·

2

3

t-

1

2

（6-t）·4=-

1

3

t²+2t=-

1

3

（t-3）²+3．（8分）
当t=3时，S有最大值，最大值为3．（10分）
解：（1）∵直线y=-2x+12与直线y=x交于点C，
∴x=-2x+12，
解得x=4，（1分）

所以y=4，所以C点的坐标为（4，4）．（2分）

（2）由-2x+12=0得x=6，（3分）
所以S_△OAC=

1

2

×6×4=12．（4分）

（3）如图，分别过点C、D作OA的垂线，垂足分别为M、N点，
因为PD∥AC，所以

DN

CM

=

OP

OA

，（5分）
即

DN

4

=

t

6

，所以DN=

2

3

t．（6分）
所以S=S_△OAC-S_△OPD-S_△PAC（7分）
=12-

1

2

OP·DN-

1

2

PA·CM=12-

1

2

t·

2

3

t-

1

2

（6-t）·4=-

1

3

t²+2t=-

1

3

（t-3）²+3．（8分）
当t=3时，S有最大值，最大值为3．（10分）