试题

如图，一次函数y=-

3

x+

3

的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，

3

2

），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；
（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

解：
（1）∵一次函数的解析式为y=-

3

x+

3

函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，

3

），
∴AB=2，
设AC=x，则BC=2x，由勾股定理得，4x²-x²=4，
解得x=

2

3

3

，S_△ABC=

2× 2 3 3

2

=

2 3

3

；

（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，
S_△APB=S_梯形ODPB+S_△AOB-S_△APD=

-( 3 2 + 3 )m

2

+

3 ·1

2

-

3

2

(1-m)=-

3

2

m+

3

4

，
-

3

2

m+

3

4

=

2 3

3

，解得m=-

5

6

；

（3）∵AB=

OA2+OB2

=2，
∴当AQ=AB时，点Q₁（3，0），Q₂（-1，0），Q₃（0，-

3

）；
当AB=BQ时，点Q₄（0，

3

+2），Q₂（0，

3

-2），Q₂（-1，0）；
当AQ=BQ时，点Q₆（0，

3

3

），Q₂（-1，0），
综上可得：（0，

3

-2），（0，

3

+2），（-1，0）（3，0），（0，-

3

），（0，

3

3

）
解：
（1）∵一次函数的解析式为y=-

3

x+

3

函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，

3

），
∴AB=2，
设AC=x，则BC=2x，由勾股定理得，4x²-x²=4，
解得x=

2

3

3

，S_△ABC=

2× 2 3 3

2

=

2 3

3

；

（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，
S_△APB=S_梯形ODPB+S_△AOB-S_△APD=

-( 3 2 + 3 )m

2

+

3 ·1

2

-

3

2

(1-m)=-

3

2

m+

3

4

，
-

3

2

m+

3

4

=

2 3

3

，解得m=-

5

6

；

（3）∵AB=

OA2+OB2

=2，
∴当AQ=AB时，点Q₁（3，0），Q₂（-1，0），Q₃（0，-

3

）；
当AB=BQ时，点Q₄（0，

3

+2），Q₂（0，

3

-2），Q₂（-1，0）；
当AQ=BQ时，点Q₆（0，

3

3

），Q₂（-1，0），
综上可得：（0，

3

-2），（0，

3

+2），（-1，0）（3，0），（0，-

3

），（0，

3

3

）