试题

如图，在直角坐标系中，A（-

9

4

，0），B（0，3），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．

解：（1）∵A（-

9

4

，0），B（0，3），
∴OA=

9

4

，OB=3．
∵∠ABC=∠BOC=90°，∴∠BAO=∠CBO（同角的余角相等），
∴△ABO∽△BCO，
∴OA：OB=OB：OC，即

9

4

：3=3：OC，
则OC=4，
∴C（4，0）；

（2）∵OB=3，OC=4，
∴BC=

OB2+OC2

=5．
则：BP=t，CP=5-t，CQ=t；
①如图1，当CP=CQ时，则有：5-t=t，
解得：t=

5

2

；
②如图2，当CQ=QP时，过Q作QM′⊥BC于M′，则有：
CM′=

1

2

（5-t）．
易证△CQM′∽△CBO，
则：

CQ

CB

=

CM′

OC

，即

t

5

=

1 2 (5-t)

4

，
解得：t=

25

13

；
③如图3，当CP=PQ时，过P作PN⊥OC于N，则：
CN=

1

2

CQ=

1

2

t．
易证△CNP∽△COB，则：

CN

CO

=

CP

CB

，即

1 2 t

4

=

5-t

5

，
解得t=

40

13

；
综上所述，当t=

5

2

，时，t=

25

13

或t=

40

13

时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．
解：（1）∵A（-

9

4

，0），B（0，3），
∴OA=

9

4

，OB=3．
∵∠ABC=∠BOC=90°，∴∠BAO=∠CBO（同角的余角相等），
∴△ABO∽△BCO，
∴OA：OB=OB：OC，即

9

4

：3=3：OC，
则OC=4，
∴C（4，0）；

（2）∵OB=3，OC=4，
∴BC=

OB2+OC2

=5．
则：BP=t，CP=5-t，CQ=t；
①如图1，当CP=CQ时，则有：5-t=t，
解得：t=

5

2

；
②如图2，当CQ=QP时，过Q作QM′⊥BC于M′，则有：
CM′=

1

2

（5-t）．
易证△CQM′∽△CBO，
则：

CQ

CB

=

CM′

OC

，即

t

5

=

1 2 (5-t)

4

，
解得：t=

25

13

；
③如图3，当CP=PQ时，过P作PN⊥OC于N，则：
CN=

1

2

CQ=

1

2

t．
易证△CNP∽△COB，则：

CN

CO

=

CP

CB

，即

1 2 t

4

=

5-t

5

，
解得t=

40

13

；
综上所述，当t=

5

2

，时，t=

25

13

或t=

40

13

时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．