试题

如图1，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（

3

，1），在BC边上选取适当的点D，将△OCD沿OD翻折，点C落在点E处，得到△OED．
（1）若点E与点A、点B构成等腰三角形，求点E的坐标；
（2）若点E在一次函数y=2x-1的图象上（如图2），求点D的坐标；
（3）当线段OD与直线EA垂直时（如图3），求△CDE的外接圆的半径．

解：（1）∵B（

3

，1），
∴AB=OC=1，
OB=

12+( 3 )2

=2，
根据翻折的性质，OE=OC=1，
①AB=BE时，则OE+BE=OB=2，
所以，点O、E、B三点共线，且点E是OB的中点，
∵O（0，0），B（

3

，1），
∴点E的坐标为（

3

2

，

1

2

），
②AE=BE时，根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在AB的垂直平分线上，
所以，点E的纵坐标为

1

2

，
过点E作EF⊥OA于点F，则OF=

OE2-EF2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
所以，点E的坐标为（

3

2

，

1

2

），
③AE=AB时，∵OE=AE=1，
∴点E在OA的垂直平分线上，
∴OF=

1

2

OA=

3

2

，
∴EF=

OE2-EF2

=

12-( 3 2 )2

=

1

2

，
∴点E的坐标为（

3

2

，

1

2

），
综上所述，点E的坐标为（

3

2

，

1

2

）；

（2）如图2，过点E作OC的平行线交BE于F，交OA于G，可得EF⊥BC，EG⊥OA，
∵点E在一次函数y=2x-1的图象上，
∴设点E坐标为（a，2a-1），
在Rt△OEG中，OE²=EG²+OG²，
即1²=（2a-1）²+a²，
整理得，5a²-4a=0，
解得a₁=0（舍去），a₂=

4

5

，
∴OG=

4

5

，EG=2×

4

5

-1=

3

5

，
∴EF=FG-EG=1-

3

5

=

2

5

，
根据翻折，∠DEO=∠OCD=90°，
∴∠DEF+∠OEG=180°-90°=90°，
∵∠EOG+∠OEG=90°，
∴∠EOG=∠DEF，
又∵∠EDF=∠OGE=90°，
∴△OGE∽△EFD，
∴

EG

DF

=

OG

EF

，
即

3 5

DF

=

4 5

2 5

，
解得DF=

3

10

，
∴CD=CF-DF=OG-DF=

4

5

-

3

10

=

1

2

，
∴点D的坐标为（

1

2

，1）；

（3）如图3，连接CE，根据翻折对称性，CE⊥OD，
∵AE⊥OD，
∴A、E、C三点共线，
∵∠OAE+∠OCE=90°，∠COD+∠OCE=90°，
∴∠OAE=∠COD，
矩形OABC的对角线AC=OB=2，
∵cos∠OAE=

OA

AC

=

3

2

，
cos∠COD=

OC

OD

=

1

OD

，
∴

1

OD

=

3

2

，
解得OD=

2 3

3

，
∵OD是Rt△OCD与Rt△ODE的斜边，
∴点O、C、D、E四点共圆，且OD是外接圆的直径，
∴△CDE的外接圆的半径为：

1

2

OD=

1

2

×

2 3

3

=

3

3

．
解：（1）∵B（

3

，1），
∴AB=OC=1，
OB=

12+( 3 )2

=2，
根据翻折的性质，OE=OC=1，
①AB=BE时，则OE+BE=OB=2，
所以，点O、E、B三点共线，且点E是OB的中点，
∵O（0，0），B（

3

，1），
∴点E的坐标为（

3

2

，

1

2

），
②AE=BE时，根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在AB的垂直平分线上，
所以，点E的纵坐标为

1

2

，
过点E作EF⊥OA于点F，则OF=

OE2-EF2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
所以，点E的坐标为（

3

2

，

1

2

），
③AE=AB时，∵OE=AE=1，
∴点E在OA的垂直平分线上，
∴OF=

1

2

OA=

3

2

，
∴EF=

OE2-EF2

=

12-( 3 2 )2

=

1

2

，
∴点E的坐标为（

3

2

，

1

2

），
综上所述，点E的坐标为（

3

2

，

1

2

）；

（2）如图2，过点E作OC的平行线交BE于F，交OA于G，可得EF⊥BC，EG⊥OA，
∵点E在一次函数y=2x-1的图象上，
∴设点E坐标为（a，2a-1），
在Rt△OEG中，OE²=EG²+OG²，
即1²=（2a-1）²+a²，
整理得，5a²-4a=0，
解得a₁=0（舍去），a₂=

4

5

，
∴OG=

4

5

，EG=2×

4

5

-1=

3

5

，
∴EF=FG-EG=1-

3

5

=

2

5

，
根据翻折，∠DEO=∠OCD=90°，
∴∠DEF+∠OEG=180°-90°=90°，
∵∠EOG+∠OEG=90°，
∴∠EOG=∠DEF，
又∵∠EDF=∠OGE=90°，
∴△OGE∽△EFD，
∴

EG

DF

=

OG

EF

，
即

3 5

DF

=

4 5

2 5

，
解得DF=

3

10

，
∴CD=CF-DF=OG-DF=

4

5

-

3

10

=

1

2

，
∴点D的坐标为（

1

2

，1）；

（3）如图3，连接CE，根据翻折对称性，CE⊥OD，
∵AE⊥OD，
∴A、E、C三点共线，
∵∠OAE+∠OCE=90°，∠COD+∠OCE=90°，
∴∠OAE=∠COD，
矩形OABC的对角线AC=OB=2，
∵cos∠OAE=

OA

AC

=

3

2

，
cos∠COD=

OC

OD

=

1

OD

，
∴

1

OD

=

3

2

，
解得OD=

2 3

3

，
∵OD是Rt△OCD与Rt△ODE的斜边，
∴点O、C、D、E四点共圆，且OD是外接圆的直径，
∴△CDE的外接圆的半径为：

1

2

OD=

1

2

×

2 3

3

=

3

3

．