试题

（2004·沈阳）如图，直线l：y=

3

3

x+

3

3

与x轴、y轴分别交于点B、C，以点A（1，0）为圆心，以AB的长为半径作⊙A，分别交x轴、y轴正半轴于点D、E，直线l与⊙A交于点F，分别过点B、F作⊙A的切线交于点M．
（1）直接写出点B、C的坐标；
（2）求直线MF的解析式；
（3）若点P是

BEF

上任意一点（不与B、F重合）．连接BP、FP．过点M作MN∥PF，交直线l于点N．设PB=a，MN=b，求b与a的函数关系式，并写出自变量a的取值范围；
（4）若将（3）中的条件点P是

BEF

上任意一点，改为点P是⊙A上任意一点，其它条件不变．当点P在⊙A上的什么位置时，△BMN为直角三角形，并写出此时点N的坐标．（第（4）问直接写出结果，不要求证明或计算过程）

解：（1）B（-1，0），C（0，

3

3

）；

（2）作AH⊥BF于H，FG⊥BD于G，
tan∠CBO=

3 3

1

=

3

3

，
∴∠CBO=30°
∴HA=

1

2

AB=1，
∴BH=

3

，BF=2BH=2

3

，
∴FG=

1

2

BF=

3

，BC=3OG=2，
∴F（2，

3

），
∵∠MBF=60°，BM=MF，
∴MB=MF=BF=2

3

，
∴M（-1，2

3

），
设直线MF的解析式为y=kx+b，
∴

2 3 =-k+b 3 =2k+b

，
∴

k=- 3 3 b= 5 3 3

，
∴y=-

3

3

x+

5

3

3

y；

（3）∵MN∥PF，
∴∠NMF=∠PFM，
∵∠PFM=∠PBF，
∴∠PBF=∠FMN，
∵∠MNF=∠BFP，
∴△PBF∽△FMN，
∴

PB

FM

=

BF

MN

，
∴

a

2 3

=

2 3

b

，
∴ab=12，
∴b=

12

a

，
0＜a＜2

3

；

（4）当点P与点E或与点D重合时，△BMN为直角三角形，
此时点N的坐为（5，2

3

），（

1

2

，

3

2

）．
解：（1）B（-1，0），C（0，

3

3

）；

（2）作AH⊥BF于H，FG⊥BD于G，
tan∠CBO=

3 3

1

=

3

3

，
∴∠CBO=30°
∴HA=

1

2

AB=1，
∴BH=

3

，BF=2BH=2

3

，
∴FG=

1

2

BF=

3

，BC=3OG=2，
∴F（2，

3

），
∵∠MBF=60°，BM=MF，
∴MB=MF=BF=2

3

，
∴M（-1，2

3

），
设直线MF的解析式为y=kx+b，
∴

2 3 =-k+b 3 =2k+b

，
∴

k=- 3 3 b= 5 3 3

，
∴y=-

3

3

x+

5

3

3

y；

（3）∵MN∥PF，
∴∠NMF=∠PFM，
∵∠PFM=∠PBF，
∴∠PBF=∠FMN，
∵∠MNF=∠BFP，
∴△PBF∽△FMN，
∴

PB

FM

=

BF

MN

，
∴

a

2 3

=

2 3

b

，
∴ab=12，
∴b=

12

a

，
0＜a＜2

3

；

（4）当点P与点E或与点D重合时，△BMN为直角三角形，
此时点N的坐为（5，2

3

），（

1

2

，

3

2

）．