试题

（2004·海淀区）如示意图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A是x轴的负半轴上一点，以AO为直径的⊙P经过点C（-8，4）．点E（m，n）在⊙P上，且-10＜m≤-5，n＜0，CE与x轴相交于点M，过C点作直线CN交x轴于点N，交⊙P于点F，使得△CMN是以MN为底的等腰三角形，经过E、F两点的直线与x轴相交于点Q．
（1）求出点A的坐标；
（2）当m=-5时，求图象经过E、Q两点的一次函数的解析式；
（3）当点E（m，n）在⊙P上运动时，猜想∠OQE的大小会发生怎样的变化？请对你的猜想加以证明．

解：（1）如图1，过C点作CD⊥x轴于点K，与⊙P相交于点D，
∵AO为直径，
∴CK=KD，CK²=AK·KO，
∵点C的坐标为（-8，4），
∴CK=4，OK=8，
∴4²=AK·8，
∴AK=2，
∴AO=10，
∴点A的坐标为（-10，0）；（2分）

（2）∵P（-5，0），K（-8，0），
∴PK=3，
如图2，连接PD，PE，
∵m=-5，且P（-5，0），
∴PE⊥x轴于P，
又∵点E （-5，n）中⊙，且n＜0，
∴点E的坐标为（-5，-5），
∵△CMN是以MN为底的等腰三角形，
∴∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴

FD

=

ED

∴PD⊥EF，
∴∠DPK=∠QEP，
∴Rt△KPD∽Rt△PEQ，
∴

PK

EP

=

KD

PQ

，
即

3

5

=

4

PQ

，
∴PQ=

20

3

，
∴OQ=OQ+PQ=5+

20

3

=

35

3

，
∴点Q的坐标为(-

35

3

，0)，
设图象经过E、Q两点的一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

-5=-5k+b 0=- 35 3 k+b

，
解得

k=- 3 4 b= 35 4

，
∴一次函数的解析式为y=-

3

4

x-

35

4

；（5分）

（3）猜想：当点E在⊙P上运动时，∠OQE的大小始终保持不变，（6分）
证明：因为-10＜m≤-5，n＜0，可知点E（m，n）在⊙P的四分之一的圆上运动（点E不与点A、点D重合），
如图，在⊙P的四分之一的圆上任取一点E（点E不与点A、点D重合），连接PD，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴

FD

=

ED

，
∴PD⊥EF，
∴∠OQE=∠PDK，
∵∠PDK的大小始终不变，
∴∠OQE的大小始终不变，
综上所述，当点E（m，n）在⊙P的四分之一的圆上运动（点E不与点A、点D重合）时，∠OQE的大小始终不变．（8分）
（注：其他解法酌情给分）
解：（1）如图1，过C点作CD⊥x轴于点K，与⊙P相交于点D，
∵AO为直径，
∴CK=KD，CK²=AK·KO，
∵点C的坐标为（-8，4），
∴CK=4，OK=8，
∴4²=AK·8，
∴AK=2，
∴AO=10，
∴点A的坐标为（-10，0）；（2分）

（2）∵P（-5，0），K（-8，0），
∴PK=3，
如图2，连接PD，PE，
∵m=-5，且P（-5，0），
∴PE⊥x轴于P，
又∵点E （-5，n）中⊙，且n＜0，
∴点E的坐标为（-5，-5），
∵△CMN是以MN为底的等腰三角形，
∴∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴

FD

=

ED

∴PD⊥EF，
∴∠DPK=∠QEP，
∴Rt△KPD∽Rt△PEQ，
∴

PK

EP

=

KD

PQ

，
即

3

5

=

4

PQ

，
∴PQ=

20

3

，
∴OQ=OQ+PQ=5+

20

3

=

35

3

，
∴点Q的坐标为(-

35

3

，0)，
设图象经过E、Q两点的一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

-5=-5k+b 0=- 35 3 k+b

，
解得

k=- 3 4 b= 35 4

，
∴一次函数的解析式为y=-

3

4

x-

35

4

；（5分）

（3）猜想：当点E在⊙P上运动时，∠OQE的大小始终保持不变，（6分）
证明：因为-10＜m≤-5，n＜0，可知点E（m，n）在⊙P的四分之一的圆上运动（点E不与点A、点D重合），
如图，在⊙P的四分之一的圆上任取一点E（点E不与点A、点D重合），连接PD，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴

FD

=

ED

，
∴PD⊥EF，
∴∠OQE=∠PDK，
∵∠PDK的大小始终不变，
∴∠OQE的大小始终不变，
综上所述，当点E（m，n）在⊙P的四分之一的圆上运动（点E不与点A、点D重合）时，∠OQE的大小始终不变．（8分）
（注：其他解法酌情给分）