试题

题目：
（2003·黑龙江）已知：如图，直角坐标系内的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的长分别是关于x的方程x2-6mx+m2+4=0的两根，并且S△AOC：S△BOC=1：5．
（1）求AC、OB的长；
（2）当BC⊥OC时，求OC的长及OC所在直线的解析式；
（3）在第（2）问的条件下，线段OC上是否存在一点M，过M点作x轴的平行线，交y轴于F，交BC于D，过D点作y轴的平行线，交x轴于点E，使S矩形FOED=
1
2
S梯形AOBC？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
青果学院
答案
青果学院解：（1）∵S△AOC：S△BOC=1：5
∴AC：OB=1：5
不妨设AC=k，OB=5k
由题意得
k+5k=6m
k·5k=m2+4

解得
m=1
k=1
或
m=-1
k=-1
（不合题意，舍去）
∴AC=1，OB=5；

（2）∵∠OAC=∠BCO=90°，∠ACO=∠BOC
∴△OBC∽△COA
∴
OB
OC
=
OC
AC
，OC2=OB·AC
∴OC=
5
或OC=-
5
（舍去）
∵AC=1，∴AO=2
∴C（1，2）
∴直线OC的解析式为y=2x；

（3）存在，M（
3
4
，
3
2
）或（
1
2
，1）．
青果学院解：（1）∵S△AOC：S△BOC=1：5
∴AC：OB=1：5
不妨设AC=k，OB=5k
由题意得
k+5k=6m
k·5k=m2+4

解得
m=1
k=1
或
m=-1
k=-1
（不合题意，舍去）
∴AC=1，OB=5；

（2）∵∠OAC=∠BCO=90°，∠ACO=∠BOC
∴△OBC∽△COA
∴
OB
OC
=
OC
AC
，OC2=OB·AC
∴OC=
5
或OC=-
5
（舍去）
∵AC=1，∴AO=2
∴C（1，2）
∴直线OC的解析式为y=2x；

（3）存在，M（
3
4
，
3
2
）或（
1
2
，1）．
考点梳理
一次函数综合题．
（1）根据等高三角形的面积等于底边比，可得出AC：OB=1：5．而AC、OB又是方程x2-6mx+m2+4=0的两根，可根据韦达定理得出AC、OB的和与积的值，然后联立AC、OB的比例关系式可求出AC、OB的长；
（2）本题要通过相似三角形求解．如果BC⊥OC，那么∠AOC和∠OBC就同为∠COB的余角，因此两角相等，可得出△OBC∽△COA，根据相似三角形得出的OC2=AC·OB，可求出OC的长．进而可在直角三角形OAC中，求出OA的长，已知了AC的长，也就得出了C点的坐标．可用待定系数法求出OC所在直线的解析式；
（3）先求出矩形FDEO的面积S与OE的长a的函数关系式，易知直线BC的解析式为y=-
1
2
x+
5
2
，那么DE=-
1
2
a+
5
2
，因此S=OE·DE=-
1
2
a2+
5
2
a，易求得梯形AOBC的面积为6，因此S=-
1
2
a2+
5
2
a=3，解得a=2或3，当a=2时，DE=-
1
2
×2+
5
2
=
3
2
，即M点纵坐标为
3
2
，代入直线OC的解析式中可得M（
3
4
，-
3
2
），同理可求得当a=3时，M（
1
2
，1）．
本题考查的是一次函数的综合运用以及三角形，梯形的性质，难度中等．
压轴题．
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