如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x2-14x+4（AB+2）=0的两个根（OB＞OA），P是直线l上A、B两点之间的一动点（不与...-青果题库-青果学院

题目：

（2002·黑龙江）如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的两个根（OB＞OA），P是直线l上A、B两点之间的一动点（不与A、B重合），PQ∥OB交OA于点Q．
（1）求tan∠BAO的值；
（2）若S_△PAQ=

1

3

S_{四边形OQPB}时，请确定点P在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（3）当点P在线段AB上运动时，在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵OA、OB的长分别是关于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的两个根，
∴OA+OB=-

b

a

=14，
由已知可得

OA+OB=14

OA·OB=4(AB+2)

，
又∵OA²+OB²=AB²，
∴（OA+OB）²-2OA·OB=AB²，
即14²-8（AB+2）=AB²，
∴AB²+8AB-180=0，
∴AB=10或AB=-18（不合题意，舍去），
∴AB=10，
∴x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∵OB＞OA，∴OA=6，OB=8，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

4

3

．

（2）∵S_△PAQ=

1

3

S_{四边形OQPB}，
∴S_△PAQ=

1

4

S_△AOB，
∵PQ∥BO，青果学院

∴△PQA∽△BOA，
∴(

AP

AB

)2=(

PQ

BO

)2=

S△PQA

S△BOA

=

1

4

，
∴

AP

AB

=

1

2

．∵AB=10，
∴AP=5，
又∵tan∠BAO=

4

3

，
∴sin∠BAO=

4

5

，
∴PQ=PA·sin∠BAO=5×

4

5

=4．

（3）存在，
设AB的解析式是y=kx+b，
则

6k+b=0

b=8

，
解得：

k=-

4

3

b=8

，
则解析式是：y=-

4

3

x+8，
即4x+3y=24（*）
青果学院

①当∠PQM=90°时，由PQ∥OB且|PQ|=|MQ|此时M点与原点O重合，设Q（a，0）则P（a，a）
有（a，a）代入（*）得a=

1

2

．
②当∠MPQ=90°，
由PQ∥OB且|MP|=|PQ|设Q（a，0）则M（0，a），P（a，a）进而得a=

24

7

．
③当∠PMQ=90°，由PQ∥OB，|PM|=|MQ|且|OM|=|OQ|=|PQ|
设Q（a，0）则M（0，a）点P坐标为（a，2a）代入（*）得a=

12

5

．
综上所述，y轴上有三个点M₁（0，0），M₂（0，

24

7

）和M₃（0，

12

5

）满足使△PMQ为等腰直角三角形．
解：（1）∵OA、OB的长分别是关于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的两个根，
∴OA+OB=-

b

a