试题

如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的函数解析式．
（2）试在直线AM上找一点P，使得S_△ABP=S_△AOB，请直接写出点P的坐标．

解：（1）∵直线AB的函数解析式y=2x+12，
∴A（-6，0），B（0，12）．
又∵M为线段OB的中点，
∴M（0，6）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
∴

-6k+b=0 b=6

，
解得：

k=1 b=6

，
故直线AM的解析式y=x+6；

（2）设点P的坐标为：（x，x+6），
∴AP=

(x+6)2+(x+6)2

=

2

|x+6|，
过点B作BH⊥AM于点H，
∵OA=OM，∠AOM=90°，
∴∠AMO=45°，
∴∠BMH=45°，
∴BH=BM·sin45°=6×

2

2

=3

2

，
∵S_△ABP=S_△AOB，S_△AOB=

1

2

OA·OB=

1

2

×6×12=36，S_△ABP=

1

2

AP·BH=

1

2

×

2

|x+6|×3

2

，
∴

1

2

×

2

|x+6|×3

2

=36，
解得：x=6或-18，
故点P的坐标为：（6，12）或（-18，-12）．
解：（1）∵直线AB的函数解析式y=2x+12，
∴A（-6，0），B（0，12）．
又∵M为线段OB的中点，
∴M（0，6）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
∴

-6k+b=0 b=6

，
解得：

k=1 b=6

，
故直线AM的解析式y=x+6；

（2）设点P的坐标为：（x，x+6），
∴AP=

(x+6)2+(x+6)2

=

2

|x+6|，
过点B作BH⊥AM于点H，
∵OA=OM，∠AOM=90°，
∴∠AMO=45°，
∴∠BMH=45°，
∴BH=BM·sin45°=6×

2

2

=3

2

，
∵S_△ABP=S_△AOB，S_△AOB=

1

2

OA·OB=

1

2

×6×12=36，S_△ABP=

1

2

AP·BH=

1

2

×

2

|x+6|×3

2

，
∴

1

2

×

2

|x+6|×3

2

=36，
解得：x=6或-18，
故点P的坐标为：（6，12）或（-18，-12）．