试题

我们知道两个一次函数y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂，当k₁=k₂时，这两个一次函数的图象相互平行，那么两个一次函数的图象什么情况下相互垂直呢？下面我们就来探索．
（1）画一画 
在同一平面直角坐标系下画出一次函数y=2x+1，y=-2x+3，y=

1

2

x-1，y=-

1

2

x+2的图象；
（2）想一想 
仔细观察图象，结合四个一次函数的解析式提出猜想：当时，两个一次函数y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂的图象相互垂直；
（3）用一用 
利用（2）中的结论解决下面问题如图：已知正比例函数y=

1

2

x的图象和⊙P相切于点A，点P在x轴上，OP=3厘米，求⊙P的面积．

解：（1）①x=0时，y=1，y=0时，2x+1=0，解得x=-

1

2

，
所以，直线y=2x+1经过点（0，1）（-

1

2

，0），
②当x=0时，y=3，当y=0时，-2x+3=0，解得x=

3

2

，
所以，直线y=-2x+3经过点（0，3）（

3

2

，0），
③当x=0时，y=-1，当y=0时，

1

2

x-1=0，解得x=2，
所以，直线y=

1

2

x-1经过点（0，-1）（2，0），
④当x=0时，y=2，当y=0时，-

1

2

x+2=0，解得x=4，
所以，直线y=-

1

2

x+2经过点（0，2）（4，0），
作图如图所示；

（2）由图可知，y=2x+1与y=-

1

2

x+2垂直，y=-2x+3与y=

1

2

x-1垂直，
∵2×（-

1

2

）=-1，-2×

1

2

=-1，
∴猜想当k₁·k₂=-1时，y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂的图象相互垂直；
故答案为：k₁·k₂=-1；

（3）根据（2）的结论，
∵正比例函数y=

1

2

x的图象和⊙P相切于点A，
∴直线AP的k值等于-2，
所以，设直线AP的解析式为y=-2x+b，
∵OP=3，
∴点P的坐标为（3，0），
∴-2×3+b=0，
解得b=6，
∴直线AP的解析式为y=-2x+6，
联立

y=-2x+6 y= 1 2 x

，
解得

x= 12 5 y= 6 5

，
所以，OA=

( 12 5 )2+( 6 5 )2

=

6

5

5

，
AP=

OP2-OA2

=

9- 36 5

=

3

5

5

，
⊙P的面积=π·AP²=π·（

3

5

5

）²=

9

5

π．