试题

如图，已知直线m：y=-

1

2

x+b与x轴交于点A（15，0），交y轴于E点．以OA为一边在第一象限内做矩形OABC，BC与直线m相交于点D，连接OD，OD垂直于直线m．
（1）求OD的长；
（2）点F在x轴上，设直线BF为n，直线m与直线n的交点P恰好是线段BF的中点，求直线n的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线m上是否存在一点Q，直线n上是否存在一点R，使得以O、A、Q、R为顶点，OA为一边的四边形为平行四边形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设直线m与y轴交于点E，
把A（15，0）代入y=-

1

2

x+b，得b=

15

2

，
∴OE=

15

2

∴AE=

OA2+OE2

=

15

2

5

∵S_△OAE=

1

2

OA·OE=

1

2

AE·OD
∴OD=

OA．OE

AE

=3

5

；

（2）∵△OCD∽△AOE
∴

OC

OA

=

OD

AE

∴OC=

OD．OA

AE

=6
∴B点坐标为（15，6）
∵点P是FB的中点
∴点P的纵坐标为3
∴3=-

1

2

x+

15

2

∴x=9
∴P点坐标（9，3）设直线n的解析式为y=kx+b把B（15，6）和P（9，3）代入得：

15k+b=6 9k+b=3

，解得：

k= 1 2 b=- 3 2

∴直线n的解析式为y=

1

2

x-

3

2

；

（3）存在Q₁（

3

2

，

27

4

），Q₂（

33

2

，-

3

4

）．
解：（1）设直线m与y轴交于点E，
把A（15，0）代入y=-

1

2

x+b，得b=

15

2

，
∴OE=

15

2

∴AE=

OA2+OE2

=

15

2

5

∵S_△OAE=

1

2

OA·OE=

1

2

AE·OD
∴OD=

OA．OE

AE

=3

5

；

（2）∵△OCD∽△AOE
∴

OC

OA

=

OD

AE

∴OC=

OD．OA

AE

=6
∴B点坐标为（15，6）
∵点P是FB的中点
∴点P的纵坐标为3
∴3=-

1

2

x+

15

2

∴x=9
∴P点坐标（9，3）设直线n的解析式为y=kx+b把B（15，6）和P（9，3）代入得：

15k+b=6 9k+b=3

，解得：

k= 1 2 b=- 3 2

∴直线n的解析式为y=

1

2

x-

3

2

；

（3）存在Q₁（

3

2

，

27

4

），Q₂（

33

2

，-

3

4

）．