试题

如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC为梯形，且OA=AB=BC=4，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动（运动到点C为止）．
（1）求A、B两点坐标；
（2）求当t=

3

时，△POQ的面积；
（3）直线l运动时间为t秒，它在梯形内扫过的面积为S，求S和t的函数关系式．

解：（1）过点A作AD⊥OC于D，过点B作BE⊥OC于E，
则AD=OA·sin60°=2

3

，OD=OA·cos60°=2，
∴OE=2+4=6，
∴A(2，2

3

)，B(6，2

3

)；

（2）当t=

3

时，OQ=

3

PQ=OQ·tan60°=3，
∴S_△POQ=

1

2

OQ·PQ=

3 3

2

；

（3）由已知得OQ=t，
当0≤t≤2时，点P在OA上，PQ=OQ·tan60o=

3

t，
∴S=

1

2

OQ·PQ=

1

2

t·

3

t=

3

2

t2，
当2＜t≤6时，点P在AB上，
由已知得AP=t-2，
∴S=

1

2

（AP+OQ）·AD=

1

2

（t-2+t）×2

3

=2

3

t-2

3

，
当6＜t≤8时，点P在BC上，
由已知得CQ=8-t，
∴PQ=CQ·tan60o=

3

(8-t)，
∴S=SOABC-S△PCQ=

1

2

(4+8)·2

3

-

1

2

(8-t)·

3

(8-t)=-

3

2

(t-8)2+12

3

，
∴S=

3 2 t2(0≤t≤2) 2 3 t-2 3 (2＜t≤6) - 3 2 (t-8)2+12 3 (6＜t≤8)

．
解：（1）过点A作AD⊥OC于D，过点B作BE⊥OC于E，
则AD=OA·sin60°=2

3

，OD=OA·cos60°=2，
∴OE=2+4=6，
∴A(2，2

3

)，B(6，2

3

)；

（2）当t=

3

时，OQ=

3

PQ=OQ·tan60°=3，
∴S_△POQ=

1

2

OQ·PQ=

3 3

2

；

（3）由已知得OQ=t，
当0≤t≤2时，点P在OA上，PQ=OQ·tan60o=

3

t，
∴S=

1

2

OQ·PQ=

1

2

t·

3

t=

3

2

t2，
当2＜t≤6时，点P在AB上，
由已知得AP=t-2，
∴S=

1

2

（AP+OQ）·AD=

1

2

（t-2+t）×2

3

=2

3

t-2

3

，
当6＜t≤8时，点P在BC上，
由已知得CQ=8-t，
∴PQ=CQ·tan60o=

3

(8-t)，
∴S=SOABC-S△PCQ=

1

2

(4+8)·2

3

-

1

2

(8-t)·

3

(8-t)=-

3

2

(t-8)2+12

3

，
∴S=

3 2 t2(0≤t≤2) 2 3 t-2 3 (2＜t≤6) - 3 2 (t-8)2+12 3 (6＜t≤8)

．