试题

首先，我们看两个问题的解答：
问题1：已知x＞0，求x+

3

x

的最小值．
问题2：已知t＞2，求

t2-5t+9

t-2

的最小值．
问题1解答：对于x＞0，我们有：x+

3

x

=(

x

-

3

x

)2+2

3

≥2

3

．当

x

=

3

x

，即x=

3

时，上述不等式取等号，所以x+

3

x

的最小值2

3

．
问题2解答：令x=t-2，则t=x+2，于是

t2-5t+9

t-2

=

(x+2)2-5(x+2)+9

x

=

x2-x+3

x

=x+

3

x

-1．
由问题1的解答知，x+

3

x

的最小值2

3

，所以

t2-5t+9

t-2

的最小值是2

3

-1．
弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：
在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．
（1）用b表示k；
（2）求△AOB面积的最小值．

解：（1）当x=0时，y=b；当y=0时，x=-

b

k

．
所以|OA|=

b

k

，|OB|=b．
∴S_△OAB=

1

2

|OA|·|OB|=

b2

2k

．
∴

b2

2k

=

b

k

+b+3，
∴

b2-2b

2k

=b+3，k=

b2-2b

2b+6

．

（2）S_△OAB=

b2

2k

=

b2(2b+6)

2(b2-2b)

=

b2+3b

b-2

．
设x=b-2，则b=x+2．
S_△OAB=

(x+2)2+3(x+2)

x

=

x2+7x+10

x

=x+

10

x

+7
=(

x

-

10 x

)2+7+2

10

≥7+2

10

．
上述不等式等号在x=

10

时成立．
故△OAB面积最小值是7+2

10

．
解：（1）当x=0时，y=b；当y=0时，x=-

b

k

．
所以|OA|=

b

k

，|OB|=b．
∴S_△OAB=

1

2

|OA|·|OB|=

b2

2k

．
∴

b2

2k

=

b

k

+b+3，
∴

b2-2b

2k

=b+3，k=

b2-2b

2b+6

．

（2）S_△OAB=

b2

2k

=

b2(2b+6)

2(b2-2b)

=

b2+3b

b-2

．
设x=b-2，则b=x+2．
S_△OAB=

(x+2)2+3(x+2)

x

=

x2+7x+10

x

=x+

10

x

+7
=(

x

-

10 x

)2+7+2

10

≥7+2

10

．
上述不等式等号在x=

10

时成立．
故△OAB面积最小值是7+2

10

．