试题

如图，直线y=-

1

2

x+b与两坐标轴分别相交于A、B两点，以OB为直径作⊙C交AB于D，DC的延长线交x轴于E．
（1）写出A、B两点的坐标（用含b的代数式表示），并求tanA的值；
（2）如果AD=4

5

，求b的值；
（3）求证：△EOD∽△EDA，并在（2）的情形下，求出点E的坐标．

解：（1）∵当x=0时，y=b，当y=0时，x=2b，
∴A（2b，0），B（0，b）
∴tanA=

OB

OA

=

b

2b

=

1

2

；

（2）AB=

OB2+OA2

=

b2+ (2b)2

=

5

b
由OA²=AD·AB，得（2b）²=4

5

·

5

b，解得b=5；

（3）∵OB是直径，
∴∠BDO=90°，
则∠ODA=90°
∴∠EOC=∠ODA=90°，
又∵OC=CD
∴∠COD=∠CDO
∴∠COD+∠EOC=∠CDO+∠ODA
∴∠EOD=∠EDA
又∵∠DEA=∠OED
∴△EOD∽△EDA
D点作y轴的垂线交y轴于H，DF⊥AE与F．
∵A（2b，0），B（0，b）
∴OA=10，OB=5．
∴AB=5

5

，
∵DF∥OB
∴

AF

OA

=

AD

AB

=

4 5

5 5

=

4

5

，
∴AF=

4

5

OA=8，
∴OF=OA-AF=10-8=2，
∴DH=OF=2，
∵Rt△BHD中，BD²=BH²+HD²
∴BH=

BD2-HD2

=1，
∴CH=

5

2

-1=

3

2

，
∵DH∥OE，
∴

OE

DH

=

CH

OC

∴OE=

10

3

．
∴E的坐标是：（-

10

3

，0）．
解：（1）∵当x=0时，y=b，当y=0时，x=2b，
∴A（2b，0），B（0，b）
∴tanA=

OB

OA

=

b

2b

=

1

2

；

（2）AB=

OB2+OA2

=

b2+ (2b)2

=

5

b
由OA²=AD·AB，得（2b）²=4

5

·

5

b，解得b=5；

（3）∵OB是直径，
∴∠BDO=90°，
则∠ODA=90°
∴∠EOC=∠ODA=90°，
又∵OC=CD
∴∠COD=∠CDO
∴∠COD+∠EOC=∠CDO+∠ODA
∴∠EOD=∠EDA
又∵∠DEA=∠OED
∴△EOD∽△EDA
D点作y轴的垂线交y轴于H，DF⊥AE与F．
∵A（2b，0），B（0，b）
∴OA=10，OB=5．
∴AB=5

5

，
∵DF∥OB
∴

AF

OA

=

AD

AB

=

4 5

5 5

=

4

5

，
∴AF=

4

5

OA=8，
∴OF=OA-AF=10-8=2，
∴DH=OF=2，
∵Rt△BHD中，BD²=BH²+HD²
∴BH=

BD2-HD2

=1，
∴CH=

5

2

-1=

3

2

，
∵DH∥OE，
∴

OE

DH

=

CH

OC

∴OE=

10

3

．
∴E的坐标是：（-

10

3

，0）．