试题

如图，将·OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知AB边所在直线的解析为：y=-x+4．
（1）点C的坐标是（，）；
（2）若将·OABC绕点O逆时针旋转90°得OBDE，BD交OC于点P，求△OBP的面积；
（3）在（2）的情形下，若再将四边形OBDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为x（0≤x≤8），与·OABC重叠部分面积为S，试写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．

解：（1）∵AB边所在直线的解析为：y=-x+4，
∴点A的坐标为：（4，0），点B的坐标为：（0，4），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=OA=4，BC∥OA，
∴点C的坐标为：（-4，4）；
故答案为：-4，4；

（2）由旋转的性质，可得：OD=OB=4，
∵∠BOD=90°，
∴∠OBD=45°，
∵OB=BC，∠OBC=90°，
∴∠BOC=45°，
∴∠OPB=90°，BP=OP，
∵OB=4，
∴OP=BP=2

2

，
∴S_△OBP=

1

2

OP·BP=4；


（3）①如图1：当0≤x＜4时，
∵OF=GB=x，
∴S_△OFK=

1

4

x²，S_△HBG=

1

2

x²．
∵S_△OPG=

1

4

（x+4）²，
∴S_{五边形KFBHP}=

1

4

（x+4）²-

1

4

x²-

1

2

x²=-

1

2

x²+2x+4=-

1

2

（x-2）²+6．
当x=2时，S_max=f（2）=6；
②当4≤x≤8时，
∵HB=FB=x-4，
∴CH=8-x，
∴S_△CPH=

1

4

（8-x）²．
当x=4时，S_max=f（4）=4．
∴当x=2时，S取得最大值为6．