在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（OA＜OB）是关于x的方程x2-（2m+6）x+2m2=0的两个实数根，C是线段AB的中点，OC=3sqrt{5...-青果题库-青果学院

题目：

在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y 轴上，线段OA、OB的长（OA＜OB）是关于x的方程x²-（2m+6）x+2m²=0的两个实数根，C是线段AB的中点，OC=3

5

，D在线段OC上，OD=2CD．
（1）求OA、OB的长；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵AB=2OC=6

5

，
∴OA²+OB²=AB²=(6

5

)2=180，
∵OA+OB=2m+6，OA×OB=2m²，
∴（OA+OB）²-2OA×OB=180，
即（2m+6）²-4m²=180，
∴m=6，
即方程为x²-18x+72=0，
∴x₁=12，x₂=6，
∵OA＜OB，
∴OA=6，OB=12．

（2）过C作CM⊥OA于M，过D作DN⊥OA于N，青果学院

∵CM∥OB，
∴

CM

OB

=

AC

AB

=

AM

OA

=

1

2

，
∵OA=6，OB=12，
∴CM=6，AM=3，OM=3，
∴C（3，6），
∵OD=2CD，
∴

DN

CM

=

OD

OC

=

ON

OM

=

2

3

，
∴DN=4，ON=2，
∴D（2，4），
设直线AD的解析式是y=kx+b，
∵A（6，0），
代入得：

0=6k+b

4=2k+b

，

解得：k=-1，b=6，
∴直线AD的解析式是y=-x+6．

（3）设直线y=-x+6交y轴于F，
把x=0代入y=-x+6得：y=6，
∴F（0，6），OF=6=OA，
由勾股定理得：AF=6

2

，
分为两种情况：
①以OA为一边时，如图，共有3个点，如图，AP=OA=AP′=6，RT∥OA∥K 青果学院

G，
点Q在点T、K点时，以O、A、P（P′）、Q为顶点的四边形是菱形，
∵A（6，0），OP=OA，
∴OP=6=PR=PT，
∴此时Q的坐标是（6，6），

过P′作P′H⊥OA于H，
AP′=6，
由勾股定理得：P′H=AH=3

2

，

K（3

2

，-3

2

），
K点在直线AD上关于O点对称的点（-3

2

，3

2

）也可以．

②以OA为对角线，作OA的垂直平分线交AD于P，交OA于M，在OA的下方，MP=MQ，以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，
把x=3代入y=-x+6得：y=3，
此时Q的坐标是（3，-3），
综合上述：P是直线AD上的点，在平面内存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或
（3

2

，-3

2

）或（-3

2

，3

2

）或（3，-3）．
解：（1）∵AB=2OC=6

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