试题

（2008·建邺区一模）如图（1）所示，一次函数的图象过点A（4，0），B（0，4），M是线段AB的中点，
（1）求该一次函数的关系式；
（2）点D是直线AB上的一点，过点D分别作DE⊥y轴，DF⊥x轴，垂足分别为E、F，连接ME、MF、EF，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．
（3）如果在（2）中，点D在线段AB上运动，其它条件不变，试求△MEF面积的最小值．

解：（1）设该一次函数的关系式为y=kx+b（k≠0）．
将（0，4）、（4，0）代入可得

b=4 4k+b=0.

k=-1，b=4．
所以该一次函数的表达式为y=-x+4；

（2）判断：△MEF为等腰直角三角形．
证明：如图，①当D在线段AB上时
连接OM∵△AOB为直角三角形，M为AB中点，
∴OM=AM．
又∵OA=OB，
∴∠EOM=∠FAM=45°．
可证四边形OFDE为矩形，
∴DF=OE．
∵DF=AF，
∴OE=AF．
∴△MEO≌△MFA（SAS）．
∴ME=MF，∠EMO=∠FMA．
∴∠EMF=90°．
②当D在线段AB的延长线上时，
可证△MED≌△MOF（SAS）．
可得△MEF为等腰直角三角形；

（3）解：设D点的坐标为（x，-x+4），
则EF=

x2+(-x+4)2

．
∵△MEF为等腰直角三角形，
∴S△MEF=

1

2

×

1

2

x2+(-x+4)2

×

x2+(-x+4)2

=

1

2

x2-2x+4
=

1

2

(x-2)2+2
∴S_△MEF的最小值为2．
解：（1）设该一次函数的关系式为y=kx+b（k≠0）．
将（0，4）、（4，0）代入可得

b=4 4k+b=0.

k=-1，b=4．
所以该一次函数的表达式为y=-x+4；

（2）判断：△MEF为等腰直角三角形．
证明：如图，①当D在线段AB上时
连接OM∵△AOB为直角三角形，M为AB中点，
∴OM=AM．
又∵OA=OB，
∴∠EOM=∠FAM=45°．
可证四边形OFDE为矩形，
∴DF=OE．
∵DF=AF，
∴OE=AF．
∴△MEO≌△MFA（SAS）．
∴ME=MF，∠EMO=∠FMA．
∴∠EMF=90°．
②当D在线段AB的延长线上时，
可证△MED≌△MOF（SAS）．
可得△MEF为等腰直角三角形；

（3）解：设D点的坐标为（x，-x+4），
则EF=

x2+(-x+4)2

．
∵△MEF为等腰直角三角形，
∴S△MEF=

1

2

×

1

2

x2+(-x+4)2

×

x2+(-x+4)2

=

1

2

x2-2x+4
=

1

2

(x-2)2+2
∴S_△MEF的最小值为2．