试题

（2005·惠安县质检）如图，直线L与x轴、y轴分别交于A（6，0）、B（0，3）两点，点C（4，0）为x轴上一点，点P在线段AB（包括端点A、B）上运动．
（1）求直线L的解析式；
（2）当点P的纵坐标为1时，按角的大小进行分类，请你确定△PAC是哪一类三角形，并说明理由；
（3）是否存在这样的点P，使△POC为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设直线L的解析式为y=kx+b，
∵直线L过A、B两点，
∴

6k+b=0 b=3

，
∴

k=- 1 2 b=3

，
∴y=-

1

2

x+3；

（2）y=1时，-

1

2

x+3=1，
∴x=4，
∵P、C的横坐标都为4，
∴PC⊥x轴，
∴△PAC是直角三角形；

（3）①显然，点P运动至点B时，△POC是直角三角形；
②由（2）知，点P的坐标为（4，1）时，△POC是直角三角形；
③假设存在这样的点P（m，n），使∠OPC=90°．
作PH⊥x轴，H为垂足，
∵△POH∽△CPH，
∴PH²=OH·CH，
∵PH=n，OH=m，CH=4-m，
∴n²=m（4-m）---------------------------①
又∵点P在直线L上，
∴n=-

1

2

m+3---------------------------②
解由①和②组成的方程组，得

m1=2 n1=2

，

m2= 18 5 n2= 6 5

，
∴P（2，2）或P(

18

5

，

6

5

)．
综上所述，符合条件的点P共有4个，坐标分别为：（0，3），（4，1），（2，2）和(

18

5

，

6

5

)．
解：（1）设直线L的解析式为y=kx+b，
∵直线L过A、B两点，
∴

6k+b=0 b=3

，
∴

k=- 1 2 b=3

，
∴y=-

1

2

x+3；

（2）y=1时，-

1

2

x+3=1，
∴x=4，
∵P、C的横坐标都为4，
∴PC⊥x轴，
∴△PAC是直角三角形；

（3）①显然，点P运动至点B时，△POC是直角三角形；
②由（2）知，点P的坐标为（4，1）时，△POC是直角三角形；
③假设存在这样的点P（m，n），使∠OPC=90°．
作PH⊥x轴，H为垂足，
∵△POH∽△CPH，
∴PH²=OH·CH，
∵PH=n，OH=m，CH=4-m，
∴n²=m（4-m）---------------------------①
又∵点P在直线L上，
∴n=-

1

2

m+3---------------------------②
解由①和②组成的方程组，得

m1=2 n1=2

，

m2= 18 5 n2= 6 5

，
∴P（2，2）或P(

18

5

，

6

5

)．
综上所述，符合条件的点P共有4个，坐标分别为：（0，3），（4，1），（2，2）和(

18

5

，

6

5

)．