试题

如图，Rt△ABC置于平面直角坐标系中，使直角顶点B与坐标原点O重合，边AB、BC分别落在y轴、x轴上，AB=9，CB=12．直线y=-

4x

3

+4交y轴、y轴分别于点D、E．点M是斜边AC上的一个动点，连接BM．点P是线段BM上的动点，始终保持∠BPE=∠BDE．
（1）直接写出点D和点E的坐标；
（2）证明：∠BPE=∠ACB；
（3）设线段OP的长为y个单位，线段OM的长为x个单位，请你写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）请你求出线段OP长度的最大值．

解：（1）∵直线y=-

4x

3

+4交y轴、y轴分别于点D、E．
∴当x=0时，y=4．当y=0时，0=-

4x

3

+4，即x=0，
∴D（0，4），E（3，0）；

（2）∵AB=9，CB=12，
∴

AB

CB

=

9

12

=

3

4

．
∵D（0，4），E（3，0），
∴OD=4，OE=3，
∴

OE

OD

=

3

4

，
∴

AB

CD

=

OE

OD

．
又∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴△ABC∽△EBD，
∴∠ACB=∠EDB．
又∵∠BPE=∠BDE，
∴∠BPE=∠ACB；

（3）∵∠BPE=∠ACB，∠PBE=∠CBM，
∴△BMC∽△BEP，
∴

BP

BC

=

BE

BM

，即

y

12

=

3

x

，
∴y=

36

x

．
当OM⊥AC时，OM最短．
AC=

AB2+BC2

=

92+122

=15．
S_△ABC=

1

2

AC·OM=

1

2

AB·BC，即15·OM=9×12，
∴OM=

36

5

，
∴自变量x的取值范围是

36

5

≤x＜12；

（4）由（3）知，OP、OM之间，即y与x之间的函数关系式是y=

36

x

（

36

5

≤x＜12）．
∵反比例函数y=

36

x

位于第一象限，
∴y的值随x的增大而减小，
∴当x=

36

5

时，y取最大值，y_最大=

36

36 5

=5．即线段OP长度的最大值是5．
解：（1）∵直线y=-

4x

3

+4交y轴、y轴分别于点D、E．
∴当x=0时，y=4．当y=0时，0=-

4x

3

+4，即x=0，
∴D（0，4），E（3，0）；

（2）∵AB=9，CB=12，
∴

AB

CB

=

9

12

=

3

4

．
∵D（0，4），E（3，0），
∴OD=4，OE=3，
∴

OE

OD

=

3

4

，
∴

AB

CD

=

OE

OD

．
又∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴△ABC∽△EBD，
∴∠ACB=∠EDB．
又∵∠BPE=∠BDE，
∴∠BPE=∠ACB；

（3）∵∠BPE=∠ACB，∠PBE=∠CBM，
∴△BMC∽△BEP，
∴

BP

BC

=

BE

BM

，即

y

12

=

3

x

，
∴y=

36

x

．
当OM⊥AC时，OM最短．
AC=

AB2+BC2

=

92+122

=15．
S_△ABC=

1

2

AC·OM=

1

2

AB·BC，即15·OM=9×12，
∴OM=

36

5

，
∴自变量x的取值范围是

36

5

≤x＜12；

（4）由（3）知，OP、OM之间，即y与x之间的函数关系式是y=

36

x

（

36

5

≤x＜12）．
∵反比例函数y=

36

x

位于第一象限，
∴y的值随x的增大而减小，
∴当x=

36

5

时，y取最大值，y_最大=

36

36 5

=5．即线段OP长度的最大值是5．