试题

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），tan∠BAC=

3

4

．
（1）求点B的坐标和过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出的m值；如不存在，请说明理由．

解：（1）∵点A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=

3

4

×4=3，
∴B点坐标为（1，3），
设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，
由

0=k×(-3)+b 3=k+b

，
解得k=

3

4

，b=

9

4

，
∴直线AB的函数表达式为y=

3

4

x+

9

4

；

（2）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC=

4

3

，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷

4

3

=

9

4

，
∴OD=OC+CD=1+

9

4

=

13

4

，
∴D（

13

4

，0）；

（3）这样的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，
则

m

5

=

3+ 13 4 -m

3+ 13 4

，
解得m=

25

9

，
如图2，当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，
则

m

3+ 13 4

=

3+ 13 4 -m

5

，
解得m=

125

36

．
故存在m的值是

25

9

或

125

36

时，使得△APQ与△ADB相似．
解：（1）∵点A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=

3

4

×4=3，
∴B点坐标为（1，3），
设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，
由

0=k×(-3)+b 3=k+b

，
解得k=

3

4

，b=

9

4

，
∴直线AB的函数表达式为y=

3

4

x+

9

4

；

（2）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC=

4

3

，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷

4

3

=

9

4

，
∴OD=OC+CD=1+

9

4

=

13

4

，
∴D（

13

4

，0）；

（3）这样的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，
则

m

5

=

3+ 13 4 -m

3+ 13 4

，
解得m=

25

9

，
如图2，当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，
则

m

3+ 13 4

=

3+ 13 4 -m

5

，
解得m=

125

36

．
故存在m的值是

25

9

或

125

36

时，使得△APQ与△ADB相似．