试题

题目：
青果学院如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（3，0），点C(0，
4
3
3
)，直线l经过点C，
（1）若在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式；
（2）若在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式；
（3）若在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数y=
2
x
的图形上，求直线l所表达的函数关系式．
答案
解：（1）当直线l上存在一点E，使△ABE为等边三角形时，E（2，
3
），
设直线l解析式为y=kx+
4
3
3
，
将E（2，
3
），代入2k+
4
3
3
=
3
，
解得k=-
3
6
，
∴直线l解析式为y=-
3
6
x+
4
3
3
（4分）

（2）当在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形时，
设直线l上的点为F，则A、B、F都可能作为直角顶点，
当F为直角顶点时，△ABF为等腰直角三角形，此时F（2，1），
将F（2，1）代入直线l解析式为y=kx+
4
3
3
中，
得k=-
2
3
3
+
1
2
，
∴y=（-
2
3
3
+
1
2
）x+
4
3
3
；（8分）
（3）①当直线l∥x轴时，直线l与函数y=
2
x
的图形有一个交点，
此时，直线l解析式为y=
4
3
3
，
②当直线l与x轴不平行时，
设直线l解析式为y=kx+
4
3
3
，
联立
y=kx+
4
3
3
y=
2
x
，
得kx2+
4
3
3
x-2=0，
当△=0时，两函数图象只有一个交点，即（
4
3
3
）2+8k=0，
解得k=-
2
3
，
此时，直线l解析式为y=-
2
3
x+
4
3
3
等（写出一个正确答案即可）            （12分）
解：（1）当直线l上存在一点E，使△ABE为等边三角形时，E（2，
3
），
设直线l解析式为y=kx+
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3
，
将E（2，
3
），代入2k+
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3
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=
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，
解得k=-
3
6
，
∴直线l解析式为y=-
3
6
x+
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3
3
（4分）

（2）当在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形时，
设直线l上的点为F，则A、B、F都可能作为直角顶点，
当F为直角顶点时，△ABF为等腰直角三角形，此时F（2，1），
将F（2，1）代入直线l解析式为y=kx+
4
3
3
中，
得k=-
2
3
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+
1
2
，
∴y=（-
2
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+
1
2
）x+
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3
；（8分）
（3）①当直线l∥x轴时，直线l与函数y=
2
x
的图形有一个交点，
此时，直线l解析式为y=
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3
，
②当直线l与x轴不平行时，
设直线l解析式为y=kx+
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，
联立
y=kx+
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y=
2
x
，
得kx2+
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x-2=0，
当△=0时，两函数图象只有一个交点，即（
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）2+8k=0，
解得k=-
2
3
，
此时，直线l解析式为y=-
2
3
x+
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3
3
等（写出一个正确答案即可）            （12分）
考点梳理
一次函数综合题；反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质．
（1）若△ABE为等边三角形，由等边三角形的性质可求E点坐标，用“两点法”求直线l解析式；
（2）分别过A、B两点作x轴的垂线，与直线l相交，可得两个直角三角形，若直线l上有一点F（2，1），可得△ABF为等腰直角三角形，用“两点法”求直线l解析式；
（3）①当直线l∥x轴时，直线l与函数y=
2
x
的图形有一个交点，②当直线l与x轴不平行时，设直线l解析式为y=kx+
4
3
3
，与函数y=
2
x
联立解方程组，得出唯一解时k的值即可．
本题考查了一次函数的综合运用，反比例函数与一次函数的交点问题，特殊三角形的性质．关键是采用形数结合的方法，确定直线l上点的坐标，求一次函数解析式．
存在型．
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