试题

已知如图，直线y=-

3

x+4

3

与x轴相交于点A，与直线y=

3

3

x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求S_△OPA的值；
（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．

解：（1）-

3

x+4

3

=

3

3

x
x=3，
y=

3

．
所以P（3，

3

）．

（2）0=-

3

x+4

3

．
x=4．
4×

3

×

1

2

=2

3

．
故面积为2

3

．

（3）当E点在OP上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以E点纵坐标为

3

3

a，
∴S=

1

2

×

3

3

a·a=

3

6

a²．
当点E在PA上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以E点纵坐标为-

3

a+4

3

．
M点横坐标为：-3a+12，
∴S=（-

3

a+4

3

）a-

1

2

（-

3

a+4

3

）（-3a+12）=-

5 3

2

a²+16

3

a-24

3

．
解：（1）-

3

x+4

3

=

3

3

x
x=3，
y=

3

．
所以P（3，

3

）．

（2）0=-

3

x+4

3

．
x=4．
4×

3

×

1

2

=2

3

．
故面积为2

3

．

（3）当E点在OP上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以E点纵坐标为

3

3

a，
∴S=

1

2

×

3

3

a·a=

3

6

a²．
当点E在PA上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以E点纵坐标为-

3

a+4

3

．
M点横坐标为：-3a+12，
∴S=（-

3

a+4

3

）a-

1

2

（-

3

a+4

3

）（-3a+12）=-

5 3

2

a²+16

3

a-24

3

．