试题

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B在x轴的负半轴上，△ABO的面积是3．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）在线段OB的垂直平分线m上是否存在点M，使△AOM得周长最短？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（4）过点A作直线AN与坐标轴交于点N，且使AN=OA，求△ABN的面积．

解：（1）设B（a，0），作AE⊥x轴于点E，作AH⊥y轴于点H，
∴BO=-a，
∵A（2，3），
∴AE=3，AH=2，
∴

-3a

2

=3，
∴a=-2，
∴B（-2，0）

（2）设AB的解析式为：y=kx+b，由题意，得

0=-2k+b 3=2k+b

，解得：

k= 3 4 b= 3 2

，
∴抛物线的解析式为：y=

3

4

x+

3

2

．

（3）存在点M，M（-1，

3

4

）．

（4）如图，当AN交x轴于点N时，
∴△AEO≌△AEN，
∴OE=EN=2，
∴BN=6，
∴S_△ABN=

6×3

2

=9，
当AN′交y轴于点N′时，可得OH=HN′=3，
∴ON′=6，
在直线AB上，当x=0时，y=

3

2

，
∴OG=

3

2

，
∴GN′=

9

2

，
∴S_△ABN′=

9 2 ×2

2

+

9 2 ×2

2

=9，
∴△ABN的面积为：9
解：（1）设B（a，0），作AE⊥x轴于点E，作AH⊥y轴于点H，
∴BO=-a，
∵A（2，3），
∴AE=3，AH=2，
∴

-3a

2

=3，
∴a=-2，
∴B（-2，0）

（2）设AB的解析式为：y=kx+b，由题意，得

0=-2k+b 3=2k+b

，解得：

k= 3 4 b= 3 2

，
∴抛物线的解析式为：y=

3

4

x+

3

2

．

（3）存在点M，M（-1，

3

4

）．

（4）如图，当AN交x轴于点N时，
∴△AEO≌△AEN，
∴OE=EN=2，
∴BN=6，
∴S_△ABN=

6×3

2

=9，
当AN′交y轴于点N′时，可得OH=HN′=3，
∴ON′=6，
在直线AB上，当x=0时，y=

3

2

，
∴OG=

3

2

，
∴GN′=

9

2

，
∴S_△ABN′=

9 2 ×2

2

+

9 2 ×2

2

=9，
∴△ABN的面积为：9