试题

已知直线y=

3

3

x与直线y=kx+b交于点A（m，n）（m＞0），点B在直线y=

3

3

x上且与点A关于坐标原点O成中心对称．
（1）若OA=1，求点A的坐标；
（2）若坐标原点O到直线y=kx+b的距离为1.94，直线y=kx+b与x轴正半轴交于点P，且△PAB是以PA为直角边的直角三角形，求点A的坐标．（sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27）

（1）解1：过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
在RT△AOD中，
AD=n，OD=m．
∵点A（m，n）在直线y=

3

3

x上，

AD

OD

=

3

3

，
即tan∠AOD=

3

3

，
∴∠AOD=30°，
∵OA=1，
∴n=

1

2

，m=

3

2

．
∴A（

3

2

，

1

2

）．
解2：过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
在RT△AOD中，
AD=n，OD=m．
∵OA=1，
∴m²+n²=1．
又∵点A（m，n）在直线y=

3

3

x上
∴n=

3

3

m．
∴n=

1

2

，m=

3

2

．
∴A（

3

2

，

1

2

）．

（2）解：若∠BAP=90°．
则AO=1.94．
∵∠AOD=30°，
∴点A（

97 3

100

，0.97）．
若∠APB=90°．
由题意知点O是线段AB的中点．
∴OP=OA．
过点O作OE垂直AP，垂足为E．
则有OE=1.94．
∵∠AOD=30°，
∴∠AOE=15°．
在RT△AOE中，
AO=

OE

cos∠AOE

=

1.94

0.97

=2．
∴点A（

3

，1）．
（1）解1：过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
在RT△AOD中，
AD=n，OD=m．
∵点A（m，n）在直线y=

3

3

x上，

AD

OD

=

3

3

，
即tan∠AOD=

3

3

，
∴∠AOD=30°，
∵OA=1，
∴n=

1

2

，m=

3

2

．
∴A（

3

2

，

1

2

）．
解2：过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
在RT△AOD中，
AD=n，OD=m．
∵OA=1，
∴m²+n²=1．
又∵点A（m，n）在直线y=

3

3

x上
∴n=

3

3

m．
∴n=

1

2

，m=

3

2

．
∴A（

3

2

，

1

2

）．

（2）解：若∠BAP=90°．
则AO=1.94．
∵∠AOD=30°，
∴点A（

97 3

100

，0.97）．
若∠APB=90°．
由题意知点O是线段AB的中点．
∴OP=OA．
过点O作OE垂直AP，垂足为E．
则有OE=1.94．
∵∠AOD=30°，
∴∠AOE=15°．
在RT△AOE中，
AO=

OE

cos∠AOE

=

1.94

0.97

=2．
∴点A（

3

，1）．