试题

已知直线l₁经过点（3，5）与（-4，-9），直线l₃∥l₁，且过直线l₂与y轴的交点B，交x轴于点A，已知直线l₂：y=-x+6．
（1）画出直线l₃的位置，求出直线l₁、l₃的解析式和点A的坐标．
（2）若点P（x，y）是线段AB上的一动点，△OPA的面积为S，求：
①S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②请求出S的最大值或最小值．

解：（1）直线l₁经过点（3，5）与（-4，-9），设直线l₁：y=k₁x+b₁．
由

3k1+b1=5 -4k1+b1=-9

得

k1=2 b1=-1

，
∴直线l₁：y=2x-1．（1分）
当x=0时，y=-x+6=6，
∴B（0，6）．
∵直线l₃∥l₁，
∴设直线l₃y=2x+b₃；
且l₃过直线l₂与y轴的交点B（0，6），
∴直线l₃：y=2x+6，如图．
由2x+6=0得x=-3，
∴A（-3，0）；

（2）①由A（-3，0）知OA=3．
∵点P（x，y）是线段AB上的一动点，
∴y_p=2x+6＞0，自变量x的取值范围是-3≤x≤0．
∴S=

1

2

OA·yp=

1

2

×3(2x+6)=3x+9，
∴S关于x的函数关系式是S=3x+9；

②由S=3x+9知3＞0，∴y随x的增大而增大
又-3≤x≤0，
∴x=0时，S有最大值9．
当x=-3时，S有最小值时0．
解：（1）直线l₁经过点（3，5）与（-4，-9），设直线l₁：y=k₁x+b₁．
由

3k1+b1=5 -4k1+b1=-9

得

k1=2 b1=-1

，
∴直线l₁：y=2x-1．（1分）
当x=0时，y=-x+6=6，
∴B（0，6）．
∵直线l₃∥l₁，
∴设直线l₃y=2x+b₃；
且l₃过直线l₂与y轴的交点B（0，6），
∴直线l₃：y=2x+6，如图．
由2x+6=0得x=-3，
∴A（-3，0）；

（2）①由A（-3，0）知OA=3．
∵点P（x，y）是线段AB上的一动点，
∴y_p=2x+6＞0，自变量x的取值范围是-3≤x≤0．
∴S=

1

2

OA·yp=

1

2

×3(2x+6)=3x+9，
∴S关于x的函数关系式是S=3x+9；

②由S=3x+9知3＞0，∴y随x的增大而增大
又-3≤x≤0，
∴x=0时，S有最大值9．
当x=-3时，S有最小值时0．