试题

题目：
如图，已知一次函数y=-
3
4
x+3的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以青果学院每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．
（1）求AB的长；
（2）当t为何值时，△ACD与△ABO相似？并直接写出此时点C的坐标．
答案
解：（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=
32+42
=5；

（2）依题意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，青果学院
∴
AC
AB
=
AD
AO
，
代入得：
 
5-t
5
=
t
4
，
解得：t=
20
9
，
∴点C的横坐标也就是AO-AD=AO-t=4-
20
9
=
16
9
，
再把x=
16
9
带入一次函数解析式，得y=
5
3
．
∴此时C（
16
9
，
5
3
）
若△ACD∽△AOB相似，
 
AD
AB
=
AC
AO
，
 
t
5
=
5-t
4
，
∴t=
25
9
，
AC=5-t=
20
9
，
再过C点做CE⊥OA于E，
然后△ACE∽ABO，
AE
AO
=
AC
AB
，
即
AE
4
=
20
9
5
，
解得AE=
16
9
，
∴OE=AO-AE=4-
16
9
=
20
9
，
而且又∵
CE
OB
=
AE
AO
，即
CE
3
=
16
9
4
．
解得CE=
4
3
．所以C（
20
9
，
4
3
）
∴C（
16
9
，
5
3
）或（
20
9
，
4
3
）
解：（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=
32+42
=5；

（2）依题意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，青果学院
∴
AC
AB
=
AD
AO
，
代入得：
 
5-t
5
=
t
4
，
解得：t=
20
9
，
∴点C的横坐标也就是AO-AD=AO-t=4-
20
9
=
16
9
，
再把x=
16
9
带入一次函数解析式，得y=
5
3
．
∴此时C（
16
9
，
5
3
）
若△ACD∽△AOB相似，
 
AD
AB
=
AC
AO
，
 
t
5
=
5-t
4
，
∴t=
25
9
，
AC=5-t=
20
9
，
再过C点做CE⊥OA于E，
然后△ACE∽ABO，
AE
AO
=
AC
AB
，
即
AE
4
=
20
9
5
，
解得AE=
16
9
，
∴OE=AO-AE=4-
16
9
=
20
9
，
而且又∵
CE
OB
=
AE
AO
，即
CE
3
=
16
9
4
．
解得CE=
4
3
．所以C（
20
9
，
4
3
）
∴C（
16
9
，
5
3
）或（
20
9
，
4
3
）
考点梳理
一次函数综合题．
（1）首先容易求出A，B两点的坐标，然后求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求AB；
（2）先用t分别表示AC，AD的长度，再根据相似的性质可以列出关于t的方程，解方程就可以求出点C的坐标；
此题主要考查了一次函数的综合知识，另外还考查了勾股定理的计算及相似三角形的性质．题目难度适中．
综合题．
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