试题

题目：
青果学院在平面直角坐标系xOy中，边长为a的正方形（a为大于0的常数）ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点0），顶点C、D都在第一象限，当点P到x轴的最大距离为3
2
时，此时a的值为（　　）



答案
C
青果学院解：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，
∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，
∴∠FPB=∠EPA，
∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，
∴△PBF≌△PAE，
∴PE=PF，
∴点P都在∠AOB的平分线上．
∵OA=OD时点P到y轴的距离最大，此时PE与AP重合，PB与PF重合，
∴a=
PA2+PB2
=
(3
2
)2+(3
2
)2
=
36
=6．
故选C．
考点梳理
正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．
过P点作x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明点P在∠AOB的角平分线上，再根据P到x轴的最大距离为3
2
即可得出a的值．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
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