试题

如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．
求证：四边形EBCD是等腰梯形．

证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠BCE=

1

2

∠ABC，
在△EBC与△DCB中，
∵

∠ABC=∠ACB BC=CB ∠BCE=∠DBC

，
∴△EBC≌△DCB（ASA），
∴BE=CD．
∴AB-BE=AC-CD，即AE=AD．
∴

AE

AB

=

AD

AC

，且∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴ED∥BC，
∴∠ABC=∠AED=

180°-∠A

2

，
又∵EB与DC交于点A，
即EB与DC不平行，
∴四边形EBCD是梯形，
∵BE=DC，
∴梯形EBCD是等腰梯形．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠BCE=

1

2

∠ABC，
在△EBC与△DCB中，
∵

∠ABC=∠ACB BC=CB ∠BCE=∠DBC

，
∴△EBC≌△DCB（ASA），
∴BE=CD．
∴AB-BE=AC-CD，即AE=AD．
∴

AE

AB

=

AD

AC

，且∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴ED∥BC，
∴∠ABC=∠AED=

180°-∠A

2

，
又∵EB与DC交于点A，
即EB与DC不平行，
∴四边形EBCD是梯形，
∵BE=DC，
∴梯形EBCD是等腰梯形．