试题

题目：
青果学院如图．∠C=90゜，BE⊥AB且BE=AB，BD⊥BC且BD=BC，CB的延长线交DE于F
（1）求证：点F是ED的中点；
（2）求证：S△ABC=2S△BEF．
答案
证明：（1）如图，过点E作EM⊥CF交CF的延长线于M，
∵BE⊥AB，
∴∠EBM+∠ABC=180°-90°=90°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=180°-90°=90°，
在△ABC和△BEM中，
∠EBM=∠A
∠C=∠M=90°
BE=AB
，
∴△ABC≌△BEM（AAS），青果学院
∴BC=EM，
∵BD=BC，
∴BD=EM，
在△EMF和△DBF中，
∠M=∠DBF=90°
∠EFM=∠DFB
BD=EM
，
∴△EMF≌△DBF（AAS），
∴EF=DF，
∴点F是ED的中点；

（2）∵△ABC≌△BEM，△EMF≌△DBF，
∴S△ABC=S△BEM，S△EMF=S△DBF，
∵点F是ED的中点，
∴S△BEF=S△DBF=
1
2
S△BEM=
1
2
S△ABC，
∴S△ABC=2S△BEF．
证明：（1）如图，过点E作EM⊥CF交CF的延长线于M，
∵BE⊥AB，
∴∠EBM+∠ABC=180°-90°=90°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=180°-90°=90°，
在△ABC和△BEM中，
∠EBM=∠A
∠C=∠M=90°
BE=AB
，
∴△ABC≌△BEM（AAS），青果学院
∴BC=EM，
∵BD=BC，
∴BD=EM，
在△EMF和△DBF中，
∠M=∠DBF=90°
∠EFM=∠DFB
BD=EM
，
∴△EMF≌△DBF（AAS），
∴EF=DF，
∴点F是ED的中点；

（2）∵△ABC≌△BEM，△EMF≌△DBF，
∴S△ABC=S△BEM，S△EMF=S△DBF，
∵点F是ED的中点，
∴S△BEF=S△DBF=
1
2
S△BEM=
1
2
S△ABC，
∴S△ABC=2S△BEF．
考点梳理
全等三角形的判定与性质．
（1）过点E作EM⊥CF交CF的延长线于M，根据同角的余角相等求出∠EBM=∠A，然后利用“角角边”证明△ABC和△BEM全等，根据全等三角形对应边相等可得BC=EM，再求出BD=EM，然后利用“角角边”证明△EMF和△DBF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DF，从而得证；
（2）根据全等三角形的面积相等和等底等高的三角形的面积相等进行证明．
本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
证明题．
找相似题