试题

如图，O为正方形ABCD的对角线BD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，交BE的延长线于点G，连接OG，
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）证明：OG=OB；
（3）在图中找出一对相似三角形，并证明（不添辅助线）

（1）证明：在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠BCE=∠DCF=90° CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）证明：∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBC=

1

2

∠DBC=22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；
∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），
∴∠BGF=90°；
在△DBG和△FBG中，

∠DBG=∠FBG BG=BG ∠BGD=BGF

，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），
∴点G是DF的中点；
又∵O为正方形ABCD的对角线BD的中点，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG=

1

2

BF=

1

2

BD；
∵OB=

1

2

BD，
∴OB=OG；

（3）解：△BGF∽△DCF．理由如下：
在Rt△BGF和Rt△DCF中，

∠GBF=∠CDF=22.5° ∠F=∠F

，
∴Rt△BGF∽Rt△DCF．
（1）证明：在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠BCE=∠DCF=90° CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）证明：∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBC=

1

2

∠DBC=22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；
∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），
∴∠BGF=90°；
在△DBG和△FBG中，

∠DBG=∠FBG BG=BG ∠BGD=BGF

，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），
∴点G是DF的中点；
又∵O为正方形ABCD的对角线BD的中点，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG=

1

2

BF=

1

2

BD；
∵OB=

1

2

BD，
∴OB=OG；

（3）解：△BGF∽△DCF．理由如下：
在Rt△BGF和Rt△DCF中，

∠GBF=∠CDF=22.5° ∠F=∠F

，
∴Rt△BGF∽Rt△DCF．