试题

如图，在正方形ABCD中，点F在CD上．

（1）若E是BC的中点，∠BAE=∠EAF，求证：AF=BC+FC；
（2）若E是BC上任意一点，∠BAE+∠DAF=∠EAF，试探究BE、EF、DF之间的关系，并说明理由．

（1）证明：过E点作EG⊥AF，垂足为G，
∵∠BAE=∠EAF，∠B=∠AGE=90°，
又∠BAE=∠EAF，即AE为角平分线，EB⊥AB，EG⊥AG，
∴BE=EG，又AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AB，
同理可知CF=GF，
∴AF=BC+FC．

（2）解：EF=BE+DF．理由如下：
如果将正方形ABCD以A为顶点，以AD为边顺时针旋转90°与AB重合．
设旋转后的正方形为AD₁C₁B₁那么B与D₁重合．且E₁，B，E三点共线．
由旋转的性质可知∠E₁AF=90°，AF=AE₁
∴∠E₁AE=90°-45=45°=∠EAF．
三角形AE₁E和AEF中，
∵AF=AE₁，∠E₁AE=∠EAF，AE=AE，
∴△AE₁E≌△AFE（SAS），
∵AH，AB为两三角形对应边EF，E₁E上的高，
∴AH=AB，
在直角三角形AHF和AFD中，
∵AH=AB，AF=AF，
∴△AHF≌△ADF（HL）．
∴HF=DF．
又知BE=EH．
∴EF=EH+HF=BE+DF．
（1）证明：过E点作EG⊥AF，垂足为G，
∵∠BAE=∠EAF，∠B=∠AGE=90°，
又∠BAE=∠EAF，即AE为角平分线，EB⊥AB，EG⊥AG，
∴BE=EG，又AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AB，
同理可知CF=GF，
∴AF=BC+FC．

（2）解：EF=BE+DF．理由如下：
如果将正方形ABCD以A为顶点，以AD为边顺时针旋转90°与AB重合．
设旋转后的正方形为AD₁C₁B₁那么B与D₁重合．且E₁，B，E三点共线．
由旋转的性质可知∠E₁AF=90°，AF=AE₁
∴∠E₁AE=90°-45=45°=∠EAF．
三角形AE₁E和AEF中，
∵AF=AE₁，∠E₁AE=∠EAF，AE=AE，
∴△AE₁E≌△AFE（SAS），
∵AH，AB为两三角形对应边EF，E₁E上的高，
∴AH=AB，
在直角三角形AHF和AFD中，
∵AH=AB，AF=AF，
∴△AHF≌△ADF（HL）．
∴HF=DF．
又知BE=EH．
∴EF=EH+HF=BE+DF．