试题

如图，已知在正方形ABCD中，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE．求证：
（1）DE=DF；
（2）若H点为BC的中点，求证：AH⊥ED．

证明：（1）在△AED和△DFC中，

CF=AE ∠DCF=∠DAE AD=CD

，
∴△ADE≌△CDF，（SAS）
∴DE=DF；

（2）在Rt△ADE和Rt△BAH中，

DA=AB ∠DAE=∠ABH AE=BH

，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴∠EAG=∠ADG，
∵∠ADG+∠AEG=90°，
∴∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠AGE=180°-∠EAG-∠AEG=90°，
即AH⊥DE．
证明：（1）在△AED和△DFC中，

CF=AE ∠DCF=∠DAE AD=CD

，
∴△ADE≌△CDF，（SAS）
∴DE=DF；

（2）在Rt△ADE和Rt△BAH中，

DA=AB ∠DAE=∠ABH AE=BH

，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴∠EAG=∠ADG，
∵∠ADG+∠AEG=90°，
∴∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠AGE=180°-∠EAG-∠AEG=90°，
即AH⊥DE．