试题

题目：
青果学院（2012·通辽）如图，四边形ABCD与四边形ACED都是平行四边形，R是DE的中点，BR交AC、CD于点P、Q．若AD=
5
，AB=AC=2
5
．
求：BP、PQ的长．
答案
青果学院解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE=
5
，AB=DC=DE=AC=2
5
，
∴BE=DE=2
5
．
又∵R是DE的中点，
∴ER=
1
2
DE=
5
，
在△BER和△DEC中，
∵
BE=DE
∠BER=∠DEC(公共角)
ER=EC
，
∴△BER≌△DEC（SAS），
∴BR=DC=2
5
．
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位线，
∴BP=RP=
1
2
BR=
5
．
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ．
又∵点R是DE中点，
∴DR=RE．
PQ
QR
=
PC
RE
=
1
2
，
∴QR=2PQ．
∴PQ=
1
3
PR=
5
3
；
综上所述，BP=
5
．PQ=
5
3
．
青果学院解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE=
5
，AB=DC=DE=AC=2
5
，
∴BE=DE=2
5
．
又∵R是DE的中点，
∴ER=
1
2
DE=
5
，
在△BER和△DEC中，
∵
BE=DE
∠BER=∠DEC(公共角)
ER=EC
，
∴△BER≌△DEC（SAS），
∴BR=DC=2
5
．
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位线，
∴BP=RP=
1
2
BR=
5
．
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ．
又∵点R是DE中点，
∴DR=RE．
PQ
QR
=
PC
RE
=
1
2
，
∴QR=2PQ．
∴PQ=
1
3
PR=
5
3
；
综上所述，BP=
5
．PQ=
5
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质．
由平行四边形的性质推知△BER≌△DEC（SAS），根据全等三角形对应边相等证得BR=DC=2
5
；然后由三角形中位线的判定证得PC是△BER的中位线，从而求得BP=
1
2
BR=
5
．
此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
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