试题

已知，如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求两个正方形重叠部分的面积；
（3）若正方形A′B′C′D′绕着点O旋转，EF的长度何时最短？（直接写答案）．

（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，
∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于点E，A'D'交CD于点F．
∴∠EOF=90°
∵∠BOE=∠EOF-∠EOC=90°-∠EOC
∠COF=∠BOC-∠EOC=90°-∠EOC
∴∠BOE=∠COF．
在△OBE和△OCF中，

∠BOE=∠COF OB=OC ∠OBC=∠OCF

，
∴△BOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF；

（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴S_△BOE=S_△COF
∴S_△EOC+S_△COF=S_△EOC+S_△BOE，
即S_{四边形OECF}=S_△BOC．
∵S_△BOC=

1

4

，
∴两个正方形重叠部分的面积为

1

4

；

（3）解：连接EF，
∵∠EOF=90°，
∴EF²=OE²+OF²．
∵OE=OF，
∴EF²=2OE²，
∴要使EF最小，则OE最小，
∴当OE垂直于BC时，OE_最小=

1

2

，
∴EF²=

1

2

，
∴EF_最小=

2

2

．
（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，
∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于点E，A'D'交CD于点F．
∴∠EOF=90°
∵∠BOE=∠EOF-∠EOC=90°-∠EOC
∠COF=∠BOC-∠EOC=90°-∠EOC
∴∠BOE=∠COF．
在△OBE和△OCF中，

∠BOE=∠COF OB=OC ∠OBC=∠OCF

，
∴△BOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF；

（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴S_△BOE=S_△COF
∴S_△EOC+S_△COF=S_△EOC+S_△BOE，
即S_{四边形OECF}=S_△BOC．
∵S_△BOC=

1

4

，
∴两个正方形重叠部分的面积为

1

4

；

（3）解：连接EF，
∵∠EOF=90°，
∴EF²=OE²+OF²．
∵OE=OF，
∴EF²=2OE²，
∴要使EF最小，则OE最小，
∴当OE垂直于BC时，OE_最小=

1

2

，
∴EF²=

1

2

，
∴EF_最小=

2

2

．