已知，正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG．（1）如图1，若△BEF的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为-青果题库-青果学院

题目：

已知，正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG．
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（1）如图1，若△BEF的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为

EG=CG

；
（2）如图2，若△BEF的直角边BE在BC上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；
（3）如图3，若△BEF的直角边BE在∠DBC内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．

答案

EG=CG

解：（1）GC=EG，（1分）理由如下：
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=90°，又G为斜边DF的中点，
∴EG=

1

2

DF，
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，又G为斜边DF的中点，
∴CG=

1

2

DF，
∴GC=EG；

（2）成立．
如图，延长EG交CD于M，
∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°，青果学院

∴EF∥CD，
∴∠EFG=∠MDG，
又∠EGF=∠DGM，DG=FG，
∴△GEF≌△GMD，
∴EG=MG，即G为EM的中点．
∴CG为直角△ECM的斜边上的中线，
∴CG=GE=

1

2

EM；

（3）成立．
取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC．
∵CB=CD，∠DCB=90°，∴CO=

1

2

BD．

∵DG=GF，
∴GH∥BD，且GH=

1

2

BD，
OG∥BF，且OG=

1

2

BF，
∴CO=GH．∵△BEF为等腰直角三角形．
∴EH=

1

2

BF．∴EH=OG．
∵四边形OBHG为平行四边形，
∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．
∴∠GOC=∠EHG．
∴△GOC≌△EHG．
∴EG=GC．

考点梳理

正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

试题