试题

如图，已知梯形ABCD中，CD∥AB，M为腰AD上的一点，若AB+CD=BC，MC平分∠DCB．求证：BM⊥MC．

证明：延长CM，BA，交与点E，
∵MC平分∠DCB
∴∠1=∠2，
∵BA∥CD
∴∠E=∠2，
∴∠E=∠2=∠1，
∴BE=BC
∵AB+CD=BC，
∴DC=AE，
在△AME和△DMC中，

∠DMC=∠AME ∠1=∠E CD=EA

，
∴△AME≌△DMC（AAS），
∴CM=EM，BM是EC中线（等腰三角形三线合一），
∴BM⊥MC．
证明：延长CM，BA，交与点E，
∵MC平分∠DCB
∴∠1=∠2，
∵BA∥CD
∴∠E=∠2，
∴∠E=∠2=∠1，
∴BE=BC
∵AB+CD=BC，
∴DC=AE，
在△AME和△DMC中，

∠DMC=∠AME ∠1=∠E CD=EA

，
∴△AME≌△DMC（AAS），
∴CM=EM，BM是EC中线（等腰三角形三线合一），
∴BM⊥MC．