试题

（2011·南通）如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E₁OF₁（如图2）．
（1）探究AE₁与BF₁的数量关系，并给予证明；
（2）当α=30°时，求证：△AOE₁为直角三角形．

（1）解：AE₁=BF₁．
证明：∵O为正方形ABCD的中心，
∴OA=OD，
∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，
∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E₁OF₁
∴OE₁=OF₁，
∵∠F₁OB=∠E₁OA，OA=OB，
∴△E₁AO≌△F₁BO，
∴AE₁=BF₁；

（2）证明：∵取OE₁中点G，连接AG，
∵∠AOD=90°，α=30°，
∴∠E₁OA=90°-α=60°，
∵OE₁=2OA，
∴OA=OG，
∴∠E₁OA=∠AGO=∠OAG=60°，
∴AG=GE₁，
∴∠GAE₁=∠GE₁A=30°，
∴∠E₁AO=90°，
∴△AOE₁为直角三角形．
（1）解：AE₁=BF₁．
证明：∵O为正方形ABCD的中心，
∴OA=OD，
∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，
∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E₁OF₁
∴OE₁=OF₁，
∵∠F₁OB=∠E₁OA，OA=OB，
∴△E₁AO≌△F₁BO，
∴AE₁=BF₁；

（2）证明：∵取OE₁中点G，连接AG，
∵∠AOD=90°，α=30°，
∴∠E₁OA=90°-α=60°，
∵OE₁=2OA，
∴OA=OG，
∴∠E₁OA=∠AGO=∠OAG=60°，
∴AG=GE₁，
∴∠GAE₁=∠GE₁A=30°，
∴∠E₁AO=90°，
∴△AOE₁为直角三角形．