试题

已知点P是正方形ABCD的对角线BD上任一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连PA、EF．猜想并证明线段PA与EF存在着什么关系．

解：猜想：线段PA与EF相等且互相垂直．
证明：延长EP交AD于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∵PE⊥BC，
∴EM⊥AD，
∵P在对角线上，
∴∠MDP=∠FDP=45°，
∴PM=MD，FD=FP，
∵AD⊥CD，PF⊥CD，PM⊥AD，
∴四边形PFDM是矩形，即MD=PF，
∴PM=PF=MD=DF
∴AM=AD-MD=CD-DF=CF=EP，Rt△AMP≌Rt△EPF，
∴EF=AP，∠EFP=∠APM．
延长AP交EF于N，
则∵PF∥AD，
∴∠PAM=∠FPN
∴∠EFP+∠FPN=∠PAM+∠APM=90°
∴△FNP是直角三角形，∠FNP=90°
∴FN⊥AN，即EF⊥AP．
∴线段PA与EF相等且互相垂直．
解：猜想：线段PA与EF相等且互相垂直．
证明：延长EP交AD于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∵PE⊥BC，
∴EM⊥AD，
∵P在对角线上，
∴∠MDP=∠FDP=45°，
∴PM=MD，FD=FP，
∵AD⊥CD，PF⊥CD，PM⊥AD，
∴四边形PFDM是矩形，即MD=PF，
∴PM=PF=MD=DF
∴AM=AD-MD=CD-DF=CF=EP，Rt△AMP≌Rt△EPF，
∴EF=AP，∠EFP=∠APM．
延长AP交EF于N，
则∵PF∥AD，
∴∠PAM=∠FPN
∴∠EFP+∠FPN=∠PAM+∠APM=90°
∴△FNP是直角三角形，∠FNP=90°
∴FN⊥AN，即EF⊥AP．
∴线段PA与EF相等且互相垂直．