试题

已知直线l₁、l₂经过K（2，2）
（1）如图1，直线l₂⊥l₁于K．直线l₁分别交x轴、y轴于A点、B点，直线l₂，分别交x轴、y轴于C、D，求OB+OC的值；
（2）在第（1）问的条件下，求S_△ACK-S_△OCD的值：
（3）在第（2）问的条件下，如图2，点J为AK上任一点（J不于点A、K重合），过A作AE⊥DJ于E，连接EK，求∠DEK的度数．

（1）解：过K点分别作x轴、y轴的垂线KM、KN，垂足分别为M、N，
则∠KNB=90°，∠KNO=∠KMO=∠NOM=90°，
即∠NKM=90°，
∵K（2，2），
∴KM=KN=2，
∵DK⊥AB，
∴∠BKC=∠AKC=∠NKM=90°，
∴∠CKM=∠BKN=90°-∠NKC，
在△KCM和△KBN中

∠KMC=∠KNB KM=KN ∠CKM=∠BKN

∴△KCM≌△KBN，
∴CM=BN，
∴OB+OC=ON+BN+OC=ON+CM+OC=ON+OM=2+2=4．

（2）解：∵∠AKC=∠MKN=90°，
∴∠AKM=∠NKD=90°-∠CKM，
∵∠KND=∠KMA=90°，
∴在△AMK和△DNK中

∠KMA=∠KND KM=KN ∠AKM=∠DKN

∴△AMK≌△DNK，
∴S_△AMK=S_△DNK，
∴S_△ACK-S_△OCD=S_△AMK+S_△CKM-S_△DOC=S_△DNK-S_△DOC+S_△CKM=S_{正方形OMKN}=2×2=4．

（3）解：
由（2）知△AMK≌△DNK．AK=DK，
在DE上截取DF=AE，连接KF，
∵AE⊥EF，DK⊥AB，
∴∠DKJ=∠AEJ=90°，
∵∠KJD=∠EJA，
∴由三角形内角和定理得：∠KDF=∠KAE，
在△KDF和△KAE中

KD=KA ∠KDF=∠KAE DF=AE

∴△KDF≌△KAE，
∴KF=EK，∠DKF=EKA，
∵∠DKA=90°，
∴∠FKE=∠FKA+∠EKA=∠FKA+∠DKF=∠CKA=90°，
∴△KEF是等腰直角三角形，
∴∠DEK=45°．
（1）解：过K点分别作x轴、y轴的垂线KM、KN，垂足分别为M、N，
则∠KNB=90°，∠KNO=∠KMO=∠NOM=90°，
即∠NKM=90°，
∵K（2，2），
∴KM=KN=2，
∵DK⊥AB，
∴∠BKC=∠AKC=∠NKM=90°，
∴∠CKM=∠BKN=90°-∠NKC，
在△KCM和△KBN中

∠KMC=∠KNB KM=KN ∠CKM=∠BKN

∴△KCM≌△KBN，
∴CM=BN，
∴OB+OC=ON+BN+OC=ON+CM+OC=ON+OM=2+2=4．

（2）解：∵∠AKC=∠MKN=90°，
∴∠AKM=∠NKD=90°-∠CKM，
∵∠KND=∠KMA=90°，
∴在△AMK和△DNK中

∠KMA=∠KND KM=KN ∠AKM=∠DKN

∴△AMK≌△DNK，
∴S_△AMK=S_△DNK，
∴S_△ACK-S_△OCD=S_△AMK+S_△CKM-S_△DOC=S_△DNK-S_△DOC+S_△CKM=S_{正方形OMKN}=2×2=4．

（3）解：
由（2）知△AMK≌△DNK．AK=DK，
在DE上截取DF=AE，连接KF，
∵AE⊥EF，DK⊥AB，
∴∠DKJ=∠AEJ=90°，
∵∠KJD=∠EJA，
∴由三角形内角和定理得：∠KDF=∠KAE，
在△KDF和△KAE中

KD=KA ∠KDF=∠KAE DF=AE

∴△KDF≌△KAE，
∴KF=EK，∠DKF=EKA，
∵∠DKA=90°，
∴∠FKE=∠FKA+∠EKA=∠FKA+∠DKF=∠CKA=90°，
∴△KEF是等腰直角三角形，
∴∠DEK=45°．