试题

题目：
（2006·威海）已知：如图①，在·ABCD中，O为对角线BD的中点．过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N；过O的另一条直线PQ交直线AD于点P，交直线BC于点Q，连接PN、MQ．
青果学院青果学院
（1）试证明△PON与△QOM全等；
（2）若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则△PON与△QOM又有怎样的关系？试就点O在图②所示的位置，画出图形，证明你的猜想；
（3）若点O为直线BD上任意一点（不与点B、D重合），设OD：OB=k，PN=x，MQ=y，则y与x之间的函数关系式为
y=
x
k
y=
x
k
．
答案
y=
x
k

（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO．
∵∠DOP=∠BOQ，DO=BO，
∴△DOP≌△BOQ．
∴PO=QO．（2分）
同理MO=NO．
∵∠PON=∠QOM，
∴△PON≌△QOM．（4分）

（2）解：画图．（5分）
△MOQ∽△NOP．（6分）青果学院
∵AP∥BQ，BM∥CN，
∴OD：OB=OP：OQ，OD：OB=ON：OM．
∴OP：OQ=ON：OM．（7分）
∴∠NOP=∠MOQ．
∴△MOQ∽△NOP．（8分）

（3）解：根据（2）和已知可以得到
OD
OB
=
NO
OM
=
PN
MQ
，
∴y=
x
k
．（10分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
（1）根据平行四边形的性质容易得到全等条件证明△DOP≌△BOQ，△PON≌△QOM，然后利用全等三角形的性质得到PO=QO，MO=NO，然后再证明△PON≌△QOM就可以解决问题；
（2）点O为直线BD上任意一点，则△MOQ∽△NOP．根据AP∥BQ，BM∥CN可以得到比例线段，而∠NOP=∠MOQ，可以证明△MOQ∽△NOP了；
（3）根据（2）和已知可以得到
OD
OB
=
NO
OM
=
PN
MQ
，根据这个等式可以求出y与x之间的函数关系式．
此题综合性比较强，把全等三角形，相似三角形放在平行四边形的背景下，综合利用这些知识来解题．
综合题．
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