试题

如图所示，在直线AB上有一点C，过点A作AE⊥AB，垂足为A，过点B作BF⊥AB，垂足为B，且AE=BC，BF=AC，连接EF．
（1）求证：△AEC≌△BCF；
（2）若AE=2，tan∠CFB=

1

2

，求EF的长．

（1）证明：∵EA⊥AB，BF⊥AB
∴∠EAC=∠FBC=90°…（1分）
在Rt△EAC与Rt△CBF中，

AE=BC ∠EAC=∠CBF AC=BF

…（3分）
∴Rt△AEC≌Rt△BCF；

（2）解：∵△AEC≌△BCF，
∴AE=2=BC，∠CFB=∠ECA
∴tan∠ECA=

1

2

，
∴2AE=AC=4，
∴EC=CF=2

5

…（7分），
∵∠EAC+∠ECA=90°，∠AEC=∠FCB，
∴∠ECA+∠FCB=90°，
∴∠ECF=90°，
在Rt△ECF中，EC=CF=2

5

，
∴EF=2

10

．
（1）证明：∵EA⊥AB，BF⊥AB
∴∠EAC=∠FBC=90°…（1分）
在Rt△EAC与Rt△CBF中，

AE=BC ∠EAC=∠CBF AC=BF

…（3分）
∴Rt△AEC≌Rt△BCF；

（2）解：∵△AEC≌△BCF，
∴AE=2=BC，∠CFB=∠ECA
∴tan∠ECA=

1

2

，
∴2AE=AC=4，
∴EC=CF=2

5

…（7分），
∵∠EAC+∠ECA=90°，∠AEC=∠FCB，
∴∠ECA+∠FCB=90°，
∴∠ECF=90°，
在Rt△ECF中，EC=CF=2

5

，
∴EF=2

10

．