试题

（2006·辽宁）如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）求△ABC所扫过的图形的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的长．

解：（1）连接BF，由题意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴S_{平行四边形ABFE}=2S_△EAF
∴△ABC扫过图形的面积为S_{平行四边形ABFE}+S_△ABC=2×3+3=9；

（2）由（1）知四边形ABFE为平行四边形，且AB=AE，
∴四边形ABFE为菱形，
∴AF与BE互相垂直且平分．

（3）过点B作BD⊥CA于点D，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=15°．
∴∠BAD=30°，BD=

1

2

AB=

1

2

AC．
∴

1

2

BD·AC=3，
∴

1

2

·

1

2

AC·AC=3．
∴AC²=12．
∴AC=2

3

．
解：（1）连接BF，由题意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴S_{平行四边形ABFE}=2S_△EAF
∴△ABC扫过图形的面积为S_{平行四边形ABFE}+S_△ABC=2×3+3=9；

（2）由（1）知四边形ABFE为平行四边形，且AB=AE，
∴四边形ABFE为菱形，
∴AF与BE互相垂直且平分．

（3）过点B作BD⊥CA于点D，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=15°．
∴∠BAD=30°，BD=

1

2

AB=

1

2

AC．
∴

1

2

BD·AC=3，
∴

1

2

·

1

2

AC·AC=3．
∴AC²=12．
∴AC=2

3

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