试题

题目：
青果学院在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA、OB的中点分别为点E、F．
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H，求
AB+CD
GH
的值．
答案
（1）证明：∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF=
1
2
AB，
而CD∥AB，CD=
1
2
AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC；

（2）解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴
EG
CD
=
AE
AC
=
1
3
，
即EG=
1
3
CD，同理：FH=
1
3
CD，
∴
AB+CD
GH
=
2CD+CD
CD
3
+CD+
CD
3
=
9
5
．
（1）证明：∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF=
1
2
AB，
而CD∥AB，CD=
1
2
AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC；

（2）解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴
EG
CD
=
AE
AC
=
1
3
，
即EG=
1
3
CD，同理：FH=
1
3
CD，
∴
AB+CD
GH
=
2CD+CD
CD
3
+CD+
CD
3
=
9
5
．
考点梳理
平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；直角梯形．
（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF=
1
2
AB，又CD∥AB，CD=
1
2
AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC；
（2）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=
1
3
CD，同理得FH=
1
3
CD，又AB=2CD，代入
AB+CD
GH
中求值．
本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，锐角三角函数定义的运用．关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系，数量关系．
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