试题

题目：
青果学院如图，AE是△ABC中BC边上的高线也是中线，点D在线段AE上（不与两端点重合）．
（1）证明：△ADB≌△ADC；
（2）当△AEB∽△BED时，若sin∠BAE=
1
3
，BC=4，求线段DE的长度．
答案
（1）证明：∵AE是△ABC中BC边上的高线也是中线，即线段AE在BC的中垂线上，
∴AB=AC，DB=DC，
又∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADC（SSS）；

（2）解：∵△AEB∽△BED，∴∠BAE=∠DBE，
∵sin∠BAE=
1
3
，
∴sin∠DBE=
1
3
，
在Rt△DBE中，sin∠DBE=
1
3
=
DE
BD
，
∴BD=3DE，
又BC=4，E为中点，∴BE=2，
∵DE2+BE2=BD2，∴DE2+4=9DE2，
解得 DE=
2
2
．
（1）证明：∵AE是△ABC中BC边上的高线也是中线，即线段AE在BC的中垂线上，
∴AB=AC，DB=DC，
又∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADC（SSS）；

（2）解：∵△AEB∽△BED，∴∠BAE=∠DBE，
∵sin∠BAE=
1
3
，
∴sin∠DBE=
1
3
，
在Rt△DBE中，sin∠DBE=
1
3
=
DE
BD
，
∴BD=3DE，
又BC=4，E为中点，∴BE=2，
∵DE2+BE2=BD2，∴DE2+4=9DE2，
解得 DE=
2
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）由已知证明AE垂直平分线段BC，根据垂直平分线的性质得AB=AC，DB=DC，而AD=AD，利用“SSS”证明△ADB≌△ADC；
（2）由△AEB∽△BED得∠DBE=∠BAE，把问题转化到Rt△BDE中，解直角三角形求DE．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形．关键是根据题意得出线段的垂直平分线．
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