试题

AE是△ABC的角平分线，D是AB上一点，∠ACD=∠B，CD和AE交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G，连接EG．
（1）判断四边形CEGF是什么四边形，说明理由；
（2）如果△ABC和△GEB相似，且相似比是2：1，求△ABC和四边形CEGF的面积的比．

（1）四边形CEGF为菱形．
证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠GAF，
∵FG∥BC，
∴∠B=∠AGF，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACF=∠AGF，
∴在△AFC和△AFG中，

∠ACF=∠AGF ∠CAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AFC≌△AFG（AAS），
∴CF=GF，∠CFA=∠GFA，
∴∠CFE=∠GFE，
∵在△CFE和△GFE中，

CF=GF ∠CFE=∠GFE EF=EF

，
∴△CFE≌△GFE（SAS），
∴∠FCE=∠FGE，∠CFE=∠GFE，∠CEF=∠GEF，
∴∠CFG=∠CEG，
∴四边形CFGE为平行四边形，
∵CF=FG，
∴四边形CEGF为菱形．

（2）解：作GH⊥BC于点H，
∴S_△GEB=BE·GH·

1

2

，S_菱形CFGE=CE·GH，
∵△ABC∽△GEB，且相似比为2：1，
∴BE：AB=1：2，
∴S_△ABC：S_△GEB=4：1，
∴S_△ABC=4S_△GEB=4·BE·GH·

1

2

=2BE·GH，
设BE=a，CE=EG=b，则a＞b，
∵△ABC和△GEB相似，且相似比是2：1，
∴

BE

AB

=

EG

AC

=

GB

CB

=

1

2

，
∴AB=2a，AC=2b=AG，BC=BE+EC=a+b，
∴BG=2a-2b，
∴

2a-2b

a+b

=

1

2

∴5b-3a=0，即a=

5

3

b，即BE=

5

3

b，
∴

S△ABC

S菱形CFGE

=

2·BE·GH

CE·GH

=

2BE

CE

=

2× 5 3 b

b

=

10

3

∴△ABC和四边形CEGF的面积的比为10：3．
（1）四边形CEGF为菱形．
证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠GAF，
∵FG∥BC，
∴∠B=∠AGF，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACF=∠AGF，
∴在△AFC和△AFG中，

∠ACF=∠AGF ∠CAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AFC≌△AFG（AAS），
∴CF=GF，∠CFA=∠GFA，
∴∠CFE=∠GFE，
∵在△CFE和△GFE中，

CF=GF ∠CFE=∠GFE EF=EF

，
∴△CFE≌△GFE（SAS），
∴∠FCE=∠FGE，∠CFE=∠GFE，∠CEF=∠GEF，
∴∠CFG=∠CEG，
∴四边形CFGE为平行四边形，
∵CF=FG，
∴四边形CEGF为菱形．

（2）解：作GH⊥BC于点H，
∴S_△GEB=BE·GH·

1

2

，S_菱形CFGE=CE·GH，
∵△ABC∽△GEB，且相似比为2：1，
∴BE：AB=1：2，
∴S_△ABC：S_△GEB=4：1，
∴S_△ABC=4S_△GEB=4·BE·GH·

1

2

=2BE·GH，
设BE=a，CE=EG=b，则a＞b，
∵△ABC和△GEB相似，且相似比是2：1，
∴

BE

AB

=

EG

AC

=

GB

CB

=

1

2

，
∴AB=2a，AC=2b=AG，BC=BE+EC=a+b，
∴BG=2a-2b，
∴

2a-2b

a+b

=

1

2

∴5b-3a=0，即a=

5

3

b，即BE=

5

3

b，
∴

S△ABC

S菱形CFGE

=

2·BE·GH

CE·GH

=

2BE

CE

=

2× 5 3 b

b

=

10

3

∴△ABC和四边形CEGF的面积的比为10：3．