试题

如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．

证明：取AB的中点H，连接EH；
∵∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
∵E是BC的中点，H是AB的中点，
∴BH=BE，AH=CE，
∴∠BHE=45°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
在△AHE和△ECF中，

∠1=∠2 AH=EC ∠AHE=∠ECF

，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
证明：取AB的中点H，连接EH；
∵∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
∵E是BC的中点，H是AB的中点，
∴BH=BE，AH=CE，
∴∠BHE=45°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
在△AHE和△ECF中，

∠1=∠2 AH=EC ∠AHE=∠ECF

，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；