试题

在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥BC与点D，当BC=AC时，如图①易证：AC+BC-AB=2DO．

（1）当BC≠AC时，如图②，线段AC、BC、AB、OD之间有怎样的等量关系，写出你的猜想并给与证明；
（2）当BC≠AC时，∠ABC的外角平分线与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥BC与点D，如图③线段AC、BC、AB、OD之间有怎样的等量关系写出你的猜想，不需证明．

解：（1）AC+BC-AB=2OD．（2分）
如图：过点O分别做OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，连接OA，则∠OAF=∠OAE，
∵∠OBD=∠OBF，∠OCD=∠OCE，
∴OD=OE=OF，
∴△OBD≌△OBF（SAS），△OEA≌△OFA（SAS），
∴BD=BF，（1分）
AE=AF，（1分）
∵∠ACB=∠ODC=∠OEC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CD=CE=OD，（1分）
∴AC+BC-AB=AE+CE+BD+CD-（BD+BF）=AF+OD+BF+OD-BF-AF=2OD． （1分）

（2）AC+BC+AB=2DO．
解：（1）AC+BC-AB=2OD．（2分）
如图：过点O分别做OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，连接OA，则∠OAF=∠OAE，
∵∠OBD=∠OBF，∠OCD=∠OCE，
∴OD=OE=OF，
∴△OBD≌△OBF（SAS），△OEA≌△OFA（SAS），
∴BD=BF，（1分）
AE=AF，（1分）
∵∠ACB=∠ODC=∠OEC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CD=CE=OD，（1分）
∴AC+BC-AB=AE+CE+BD+CD-（BD+BF）=AF+OD+BF+OD-BF-AF=2OD． （1分）

（2）AC+BC+AB=2DO．