试题

题目：
青果学院（1）在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．
（2）如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=
3
．求线段AD的长．
答案
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∵BE=DF，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．

（2）解：∵△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，AD=
AC
cos30°
=
3
3
2
=2．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∵BE=DF，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．

（2）解：∵△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，AD=
AC
cos30°
=
3
3
2
=2．
考点梳理
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，AD∥BC，又由BE=DF，易证得四边形AECF是平行四边形，则可得AE=CF．
（2）由△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，易求得∠CAD=30°，由三角函数的性质，即可求得线段AD的长．
此题考查了平行四边形的判定与性质与解直角三角形的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
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